複素数とは?ー計算問題・四則演算の解き方ー

数学 2015.9.3

2014年度から、数Ⅲに複素数平面が復活しました。昨年度には、同志社大学などでさっそく複素数平面を扱う問題が出題され話題になりました。今年は、もっと多くの大学で複素数平面を扱う問題が取り上げられるのではないかと考えられています。今回は、そもそも複素数とは何なのかを説明し、簡単な計算問題で練習していこうと思います!是非、この機会に複素数平面をマスターしましょう!

  1. 複素数とは?
  2. 複素数四則演算
  3. 複素数の特徴
  4. 複素数計算問題

 

 

 

1. 複素数とは?

複素数とは?

i= -1で表されるiを用いたA+Biを複素数といいます。(A,B:実数)

複素数は虚数に分類されます。

 

2. 複素数・四則演算

乗法・除法では、i= -1を利用します。
複素数の計算では、計算の最後は A+Biの形にまとめます

和:( A + Bi ) + ( C + Di )= ( A + C ) + ( B + D )i

減:( A + Bi ) – ( C + Di ) = ( A – C ) + ( B – D )i

加:(A + Bi )( C + Di ) = (AC – BD) + ( AD + BD )i

商:\frac{A + Bi}{C + Di}=\frac{( A + Bi )( C - Di )}{(C + Di)( C - Di )}=\frac{AC + BD + ( BC - AD )i}{C^2+D^2} = \frac{AC +BD}{C^2+D^2} + \frac{BC - AD}{C^2+D^2}i

 

3. 複素数の特徴

①正や負は考えず、大小関係がない。

つまり、2iの方がiより大きいという事はありません。

どちらが、大きいとか小さいといった概念がありません。

 

②複素数の相等

A,B,C,Dは実数である。このとき・・

A + Bi = C + Diの時は、A = C , B = D

また、 A + Bi =0の時は、 A = 0 , B = 0になります。

③共役な複素数

A + BiとA – Biは共役な複素数といいます。和と積がともに実数になる事も大事です。

和:( A + Bi )+( A- Bi ) = 2A

積:A + Bi )( A- Bi ) = A + B

 

4. 複素数計算問題

最後は複素数の計算問題です。

複素数計算問題

複素数の四則演算のところでもやりましたが、複素数の計算は、A+Biの形にまとめるのが原則でした。

だから・・

2X + 3Y + 3 + ( 2X + 2Y )i=0

2X + 3Y +3 と2X + 2Yは互いに実数だから

< 複素数の相当を利用して >

2X + 3Y + 3 =0

2X + 2Y=0が成り立つ。

2つの連立方程式を解くと・・

X=3, Y=-3になります。

複素数計算問題②

こちらも最後は、複素数の相等の形に持っていく必要があります。

左辺を展開して、Q1同様、X,Yの連立方程式に持っていっても良いが、今回は別の解き方を紹介します。

まず、両辺を(3 + i)で割ります。

2Xi + 2Y =\frac{7 +3i}{3 + i}になります。

右辺の分母・分子に(3 – i)を掛けて・・

2Xi + 2Y = \frac{7 + 3i}{3 + i} =\frac{(7 + 3i)(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)} =\frac{(7 +3i)(3 - i)}{10}=\frac{24 + 2i}{10}=\frac{i}{5} + \frac{12}{5}

よって・・

2X = \frac{1}{5},2Y = \frac{12}{5} X = \frac{1}{10},Y = \frac{6}{5}

になります。


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