反比例とは何かが例で即わかる!公式&グラフの書き方も即理解!

数学 2017.2.1
反比例とは何かが例で即わかる!公式&グラフの書き方も即理解!

中学生になると、数学で反比例を学習します。

今回は、数学の反比例について、スマホでも見やすいイラストを使いながら、早稲田大学に通う筆者がわかりやすく解説します。

本記事を読めば、数学が苦手な生徒でも反比例とは何か・反比例の式(公式)・反比例のグラフと書き方が理解できるでしょう。

最後には、反比例に関する練習問題も用意した充実の内容です。

ぜひ最後まで読んで、反比例をマスターしましょう!

反比例と一緒に比例についても学習することをオススメします。比例について丁寧に解説した記事もぜひご覧ください。

 

    1:反比例とは?例でよくわかる!

    まずは反比例とは何かについて例をあげながら、数学が苦手な人でも理解できるようにわかりやすく解説します。

    まず、クッキーが50個あることを想像してください。そして、人が5人います。

    その5人に対して、クッキーの数が等しくなるように配分するとします。

    すると、1人あたりのクッキーの数は50個÷5人=10個になりますね。

    しかし、人数が5人から10人になったとしましょう。すると、1人あたりのクッキーの数は50個÷10人=5個になりますね。

    1人あたりのクッキーの数

    ここで、人数の変化に注目してください。人数は5人から10人になったので、人数は2倍になっていますね。

    すると、1人あたりのクッキーの数はどうでしょう?10個から5個になったので、一人あたりのクッキーの個数は1/2倍になっていますね。

    人数とクッキーの数の関係表

    以上のように、ある数が2倍になった時、もう一方の数が1/2倍になるような関係のことを反比例と言います。

    ※ちなみに、以上の例の場合は、「クッキーの数は人数に反比例する」と言います。

    つまり反比例を幅広く定義すると、「とある数が○倍になった時、もう一方の数が1/○倍になる」ということです。

    以上が反比例とは何かの解説になります。反比例は数学でとても重要な分野なので必ず理解しておきましょう。

     

      2:反比例の式(公式)

      では、反比例の式(公式)について解説していきます。

      「yはxに反比例する」という状況から式を導いてみましょう。

      「yはxに反比例する」ということは、「xの値が2倍になればyの値は1/2倍になる」ということです。

      すると、以下のように式を書くことができます。

      y = a / x (aは定数)

      ※定数とは、決まっている数字のことです。a=2、a=5など、aは値が決まっています。

      仮に、a=20としましょう。すると、反比例の式は

      y = 20 / x

      と表すことができます。

      ここで、x=2の時、y = 20/2=10ですね。

      次に、xの値が、2の5倍である10の時を考えてみましょう。

      x=10の時、y=20/10=2ですね。

      反比例の式(公式)の解説画像

      xの値が2から10の5倍になった時、yの値は10から2に変化したので、yの値はちゃんと1/5倍になっていることが確認できますね。

      反比例の式はy = a / xで表すことができることはしっかり覚えておきましょう!

       

      3:反比例のグラフの書き方

      反比例の式がわかったところで、反比例のグラフを書いてみましょう!

      反比例の式は、y=a/x(aは定数)でしたので、aが正の時と負の時で場合分けをします。

      反比例のグラフ:a>0の時

      まずは定数aが正の時の反比例のグラフの書き方について解説します。

      今回はa=10の時を考えてみます。

      y=10/xのように、a>0の時はxの値を大きくすればするほどyの値は小さくなることに注意してください。

      では、グラフを書いていきます。まずはx軸とy軸を引きます。

      x軸とy軸

      そして、yの値が整数になるようなxの値(まずはxが正の値)を2、3個考えてみます。

      今回は、y=10/xなので、x=1, 5, 10を考えてみましょう。

      x=1のとき、y=10

      x=5のとき、y=2

      x=10のとき、y=1

      ですね。これらの点を座標上に取ります。

      反比例のグラフの書き方解説画像

      そして、これらの点を通るように、なめらかな曲線を描きます。

      なめらかな曲線を描いた場合

      これで終わりではありません。

      次はxが負の時のyの値を考えてみます。x=-1, -5, -10のときを考えてみましょう。

      x=-1のとき、y=-10

      x=-5のとき、y=-2

      x=-10のとき、y=-1

      ですね。

      これらの点を座標上にとりましょう。

      反比例のグラフの書き方解説画像

      そして、これらの点を通るように、なめらかな曲線を描きます。

      なめらかな曲線を描いた場合

      以上で反比例の式y=10/xのグラフが書けました。

      右上のグラフと左下のグラフは原点O(0, 0)について対称です。

      反比例のグラフの書き方解説画像

      反比例のグラフを書くときは、xの値が正の時と負の時の両方の場合のyの値について考えることに注意しましょう。

       

      反比例のグラフ:a<0の時

      次は、反比例の式y=a/xのaが負のときのグラフを書いてみましょう。

      今回は、y=-10/x(aが-10)の場合の反比例のグラフを書いてみます。

      手順はa>0の時と全く同様です。まずは適当なxの値(まずはxの値が正の時から)をいくつか出して、そのときのyの値を求めましょう!

      x=1のとき、y=-10

      x=5のとき、y=-2

      x=10のとき、y=-1

      ですね。まずはこれらの点を座標上に取ります。

      反比例のグラフの書き方解説画像

      そして、これらの点を通るなめらかな曲線を描きましょう。

      なめらかな曲線を描いた場合

      これで終わりではありませんので注意してください。次はxの値が負のときのyの値を考えます。

      x=-1のとき、y=10

      x=-5のとき、y=2

      x=-10のとき、y=1

      です。これらの点を座標上に取ります。

      反比例のグラフの書き方解説画像

      そして、これらの点を通るなめらかな曲線を描きます。

      なめらかな曲線を描いた場合

      これで反比例y=-10/xのグラフが書けました。

      a>0のときと同様に、a<0のときでも反比例のグラフは原点O(0, 0)に関して対称となります。

      反比例のグラフの書き方解説画像

      反比例のグラフにおいては、a>0のときは右上と左下に、a<0のときは左上と右下にグラフが書けます。

      反比例のグラフの書き方まとめ

      ぜひ覚えておきましょう!

       

        4:反比例の練習問題

        最後に、反比例に関する練習問題を用意しました。

        今回学習した内容が理解できたかを試すのに最適な問題ですので、ぜひ解いてください。

        練習問題

        yはxに反比例し、y=3の時、x=2である。以下の問いに答えよ。

        (1)反比例の式を求めよ。

        (2)x=1の時のyの値と、x=6の時のyの値を求めよ。

        (3)この反比例のグラフを書け。

        解答&解説

        (1)

        反比例の式はy=a/xでしたね。

        問題文より、y=3の時、x=2ですのでy=3、x=2をy=a/xに代入します。

        3=a/2

        より、a=6です。

        したがって、求める反比例の式は

        y=6/x・・・(答)

        となります。

        (2)

        反比例の式y=6/xに、x=1とx=6を代入して、

        y=6/1=6・・・(答)

        y=6/6=1・・・(答)

        (3)

        問題文と(2)より、

        x=1のとき、y=6

        x=2のとき、y=3

        x=6のとき、y=1

        ですので、以下のようなグラフが書けますね。

        反比例のグラフの書き方解説画像

        xが負の場合のyの値も考えることに注意しましょう!

        x=-1のとき、y=-6

        x=-2のとき、y=-3

        x=-6のとき、y=-1

        なので、以下のようなグラフが書けますね。

        反比例のグラフの書き方解説画像

        以上で反比例y=6/xのグラフが完成しました!

         

          反比例のまとめ

          いかがでしたか?

          反比例とは何か・反比例の式(公式)・反比例のグラフの書き方が理解できましたか?

          反比例は数学でも重要な分野の1つです。必ず理解しておきましょう!

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          この記事の執筆者

          ニックネーム:やっすん

          早稲田大学商学部4年
          得意科目:数学