比例とは?比例定数の求め方やグラフも図で即わかる!練習問題付き!

数学 2017.1.31
比例とは?比例定数の求め方やグラフも図で即わかる!練習問題付き!

数学・算数には比例という概念があります。

本記事では、数学・算数における比例とは何か(意味)、比例の記号、比例定数とは何か、比例定数の求め方、比例のグラフについて慶應大学に通う大学生が丁寧に解説します。

スマホでも見やすい図を使って、比例について詳しく解説しています。

これを読めば、数学・算数が苦手な人でも比例が理解できるでしょう。

最後には、比例の関する練習問題も用意した充実の内容です。

ぜひ最後までお読みください!

比例と一緒に反比例も学習するのがオススメです!ぜひ反比例について丁寧に解説した記事もご覧ください。

 

    1:比例とは?小学生でも比例の意味がわかる!

    まずは比例とは何かについて丁寧に解説していきます。

    比例という言葉は、「yはxに比例する」のように使われます。

    これは、

    xの値が2倍になった時、yの値も2倍になる

    xの値が3倍になった時、yの値も3倍になる

    xの値が〇〇倍になった時、yの値も〇〇倍になる

    という意味です。

    例えば、1人に対して2個のおにぎりを用意するという状況を考えてみましょう。

    おにぎりの個数(合計)は、1人いれば2個、2人いれば4個、3人いれば6個・・・

    というようになりますね。このことを表にしてみましょう。

    人数とおにぎりの個数の関係表

    人数とおにぎりの数に注目してください。

    人数が2倍になればおにぎりの数も2倍になっています。

    人数が3倍になればおにぎりの数も3倍になっています。

    人数とおにぎりの数に注目した場合

    よって、人数とおにぎりの数は比例していると言えます。

    いかがでしたか?比例とは何かのイメージがつかめましたか?

    「ある数が〇〇倍になれば、ある数も〇〇倍になる」というのが比例のイメージですので、しっかり覚えておきましょう!

     

      2:知っていると便利!比例の記号とは?

      先ほどで、人数とおにぎりの数は比例の関係にあるということがわかりました。

      このことを、記号を使って表すと、「おにぎりの数∝人数」と表すことができます。

      これは、「おにぎりの数は人数に比例する」ということを表しています。

      比例の記号の使い方

      「∝」は比例記号といい、左右が比例の関係にあることを示します。

      「人数∝おにぎりの数」ではないので注意してください。

      「人数∝おにぎりの数」と記述すると、「人数はおにぎりの数に比例する」という意味になります。

      これだと、おにぎりの数を2倍にすれば人数も2倍になるという意味になってしまいます。そうではなくて、人数を2倍した結果としておにぎりの数が2倍になるのですよね?

      比例の記号における注意点

      比例の学習では、何が何に比例しているのかに注意してください!

       

      3:比例定数とは?

      本章では、比例定数とは何かついて解説していきます。

      先ほどの人数とおにぎりの数の関係表をもう一度ご覧ください。

      人数とおにぎりの数の関係表人数とおにぎりの数の関係表

      おにぎりの数=2×人数になっていますね!

      おにぎりの数=2×人数になっている画像

      「おにぎりの数=2×人数」の「2」のことを比例定数と言うので覚えておきましょう!

       

        4:比例定数の求め方

        比例定数の求め方のイメージ

        では、比例定数はどうやって求めるのでしょうか?

        ここでは、「yはxに比例する」という状況を考えてみます。

        yの値が12の時、xの値が3だとしましょう。

        すると、比例定数は12÷3=4となります。

        簡単ですよね?比例定数はy÷xで求めることができます!

        すると、「y=4x」という比例の式を立てることができます。

        xの値が3の時はy=4×3=12でちゃんと12になっていますね。

        Xの値を2倍して6の時を考えると、y=4×6=24となり、ちゃんと12の2倍になっていることが確認できます。

        比例定数はy÷xで求められることをしっかり覚えておきましょう!

         

          5:比例のグラフ(一次関数)

          本章では、比例のグラフについて解説していきます。

          先ほどの人数とおにぎりの数の例をまた使います。以下のグラフのように、縦軸におにぎりの数、横軸に人数を取ります。

          縦軸におにぎりの数、横軸に人数を取ったグラフ

          そして、人数が1人の時のおにぎりの数、2人の時のおにぎりの数、3人の時のおにぎりの数・・・というように、順番にいくつか点を取っていきます。

          比例のグラフの書き方解説画像

          そして、原点(0, 0)からその点同士を結ぶと、直線になることがわかります。

          比例のグラフの書き方解説画像

          これが比例のグラフになります。

          比例のグラフにおける直線の傾き具合のことを「直線の傾き」といいます。

          「直線の傾き」は比例定数に等しくなります。

          したがって、今回のグラフでは、直線の傾きは2ということになります。

          直線の傾き=比例定数の解説画像

          比例のグラフについてもっと深く学習したい人は、比例(一次関数)のグラフについて解説した記事をご覧ください。

           

            6:比例に関する練習問題

            最後に、比例に関する練習問題を用意しました。

            ぜひ解いてみてください。もちろん、丁寧な解答&解説付きです。

            練習問題

            yはxに比例するとする。x=4の時、y=36である。

            (1)比例定数kを求めよ。
            (2)x=16の時、yの値を求めよ。

            解答&解説

            (1)比例定数はy÷xで求められるでしたね。

            したがって、

            求める比例定数k

            = 36 ÷ 4

            = 9・・・(答)

             

            (2)

            (1)より、y=9xという式を立てることができますね。

            したがって、x=16の時のyの値は、

            9×16 = 144・・・(答)

            となります。ちなみに、x=16というのは、4の4倍ですね。

            x=4の時はy=36でした。

            x=16の時はy=144

            です。yの値も144÷36=4倍になっていますね。

            ちゃんと比例していることが確認できたと思います。

             

              比例のまとめ

              いかがでしたか?

              比例とは何か、比例定数とは何か・求め方、比例のグラフについて理解できましたか?

              比例は算数・数学の分野では頻出です。必ず理解しておきましょう!

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              この記事の執筆者

              ニックネーム:やっすん

              早稲田大学商学部4年
              得意科目:数学