必ず解いておきたい!恒等式問題3選・詳しい解説付き

数学 2016.3.23
必ず解いておきたい!恒等式問題3選・詳しい解説付き

今回は恒等式の問題を扱います。

比較係数法、数値代入法、応用問題の3つのパターンをご用意しました!

もちろん詳しい解説付きです。

ぜひこの3パターンの問題で、恒等式の基礎を攻略しましょう♪

※恒等式の基礎や計算方法についてまだ理解が不十分な人はこちら↓ボタンをクリック!!

すらすら解ける! 恒等式・2つの解き方

 

    1.恒等式問題①&解説

    【問題①】

    次の等式がxについての恒等式となるように、定数a, b, c, dの値を求めよ。

    -2x3+8x2+ax+b+10

    = (cx+d)(2x2+5)

     

    【解答&解説】

    この問題では、

    両辺の同じ次数の項の係数が等しいので、係数比較法を使いましょう。

    与式の右辺を展開して整理します。

    -2x3+x2+ax+b+10

    = 2cx3+2dx2+5cx+5d

    係数を比較します。

    -2 = 2c

    8 = 2d

    a = 5c

    b+10 = 5d

    より、

    c = -1

    d = 4

    a = 5・(-1) = -5

    b = 5・4 – 10 = 10

    となります。

     

      2.恒等式問題②&解説

      【問題②】

      次の等式がxについての恒等式となるように、定数a, b, cの値を求めよ。

      ax(x+1)+bx(x-4)-c(x-4)(x+1)

      = 6x2+7x+21

       

      【解答&解説】

      これは係数代入法のパターンですね。。

      x=-1を代入すると、

      5b = 20

      x=0を代入すると、

      4c =21

      x=4を代入すると、

      20a = 145

      よって、b=4, c=21/4, a=29/4

      このとき、

      (左辺)

      = (29/4)x(x+1)+4x(x-4)-(21/4)(x-4)(x+1)

      = 6x2+7x+21

      ゆえに、与式は恒等式である。

      よって、a=29/4, b=4, c=21/4

       

      3.恒等式応用問題&解説

      最後に、恒等式を利用した応用問題を1つ解いてみましょう

      【応用問題】

      xの整式 x3+ax2+3x+10 を、整式

      x2-x+6で割ると、商がbx+1、余りがRであった。

      このとき、定数a, bとRを求めよ。

      但し、Rはxの整式または定数とする。

       

      【解答&解説】

      Rは余りなので、

      R=cx+dとおく(割る式が2次式なので余りは1次以下になります

      すると、

      x3+ax2+3x+10

      = (x2-x+6)(bx+1)+cx+d

      という等式が成り立つ。

      これはxについての恒等式である。

      右辺を整理して、

      x3+ax2+3x+10

      = bx3+(1-b)x2+(-1+6b+c)x+6+d

      係数を比較して、

      1 = b

      a = 1-b

      3 = -1+6b+c

      10 = 6+d

      これを解いて、

      a=0, b=1, c=-2, d=-4

      したがって、

      a=0, b=1, R=-2x-4

      いかがでしかたか?今回紹介した3つの問題は、基礎的な問題なので、必ず解けるようにしておきましょう!

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      この記事の執筆者

      ニックネーム:やっすん

      早稲田大学商学部4年
      得意科目:数学