必ず解いておきたい!恒等式問題3選・詳しい解説付き

数学 2016.3.23

今回は恒等式の問題を扱います。

比較係数法、数値代入法、応用問題の3つのパターンをご用意しました!

もちろん詳しい解説付きです。

ぜひこの3パターンの問題で、恒等式の基礎を攻略しましょう♪

※恒等式の基礎や計算方法についてまだ理解が不十分な人はこちら↓ボタンをクリック!!

すらすら解ける! 恒等式・2つの解き方

 

1.恒等式問題①&解説

【問題①】

次の等式がxについての恒等式となるように、定数a, b, c, dの値を求めよ。

-2x3+8x2+ax+b+10

= (cx+d)(2x2+5)

 

【解答&解説】

この問題では、

両辺の同じ次数の項の係数が等しいので、係数比較法を使いましょう。

与式の右辺を展開して整理します。

-2x3+40x2+ax+b+10

= 2cx3+2dx2+5cx+5d

係数を比較します。

-2 = 2c

40 = 2d

a = 5c

b+10 = 5d

より、

c = -1

d = 20

a = 5・(-1) = -5

b = 5・20 – 10 = 90

となります。

 

2.恒等式問題②&解説

【問題②】

次の等式がxについての恒等式となるように、定数a, b, cの値を求めよ。

ax(x+1)+bx(x-4)-c(x-4)(x+1)

= 6x2+7x+21

 

【解答&解説】

これは係数代入法のパターンですね。。

x=-1を代入すると、

5b = 20

x=0を代入すると、

4c =21

x=4を代入すると、

20a = 145

よって、b=4, c=21/4, a=29/4

このとき、

(左辺)

= (29/4)x(x+1)+4x(x-4)-(21/4)(x-4)(x+1)

= 6x2+7x+21

ゆえに、与式は恒等式である。

よって、a=29/4, b=4, c=21/4

 

3.恒等式応用問題&解説

最後に、恒等式を利用した応用問題を1つ解いてみましょう

【応用問題】

xの整式 x3+ax2+3x+10 を、整式

x2-x+6で割ると、商がbx+1、余りがRであった。

このとき、定数a, bとRを求めよ。

但し、Rはxの整式または定数とする。

 

【解答&解説】

Rは余りなので、

R=cx+dとおく(割る式が2次式なので余りは1次以下になります

すると、

x3+ax2+3x+10

= (x2-x+6)(bx+1)+cx+d

という等式が成り立つ。

これはxについての恒等式である。

右辺を整理して、

x3+ax2+3x+10

= bx3+(1-b)x2+(-1+6b+c)x+6+d

係数を比較して、

1 = b

a = 1-b

3 = -1+6b+c

10 = 6+d

これを解いて、

a=0, b=1, c=-2, d=-4

したがって、

a=0, b=1, R=-2x-4

いかがでしかたか?今回紹介した3つの問題は、基礎的な問題なので、必ず解けるようにしておきましょう!


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この記事の執筆者

ニックネーム:やっすん

早稲田大学商学部4年
大阪府出身
好きなこと:カラオケ、テニス
得意科目:数学
最近ハマっていること:炎天下のランニング

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