必ず解いておきたい！恒等式問題３選・詳しい解説付き

今回は恒等式の問題を扱います。

比較係数法、数値代入法、応用問題の３つのパターンをご用意しました！

もちろん詳しい解説付きです。

ぜひこの３パターンの問題で、恒等式の基礎を攻略しましょう♪

※恒等式の基礎や計算方法についてまだ理解が不十分な人はこちら↓ボタンをクリック!!

すらすら解ける！ 恒等式・２つの解き方

１．恒等式問題①＆解説

【問題①】

次の等式がxについての恒等式となるように、定数a, b, c, dの値を求めよ。

-2x³+8x²+ax+b+10

= (cx+d)(2x²+5)

【解答＆解説】

この問題では、

両辺の同じ次数の項の係数が等しいので、係数比較法を使いましょう。

与式の右辺を展開して整理します。

-2x³+８x²+ax+b+10

= 2cx³+2dx²+5cx+5d

係数を比較します。

-2 = 2c

８ = 2d

a = 5c

b+10 = 5d

より、

c = -1

d = ４

a = 5・(-1) = -5

b = 5・４ – 10 = １０

となります。

２．恒等式問題②＆解説

【問題②】

次の等式がxについての恒等式となるように、定数a, b, cの値を求めよ。

ax(x+1)+bx(x-4)-c(x-4)(x+1)

= 6x²+7x+21

【解答＆解説】

これは係数代入法のパターンですね。。

x=-1を代入すると、

5b = 20

x=0を代入すると、

4c =21

x=4を代入すると、

20a = 145

よって、b=4, c=21/4, a=29/4

このとき、

(左辺)

= (29/4)x(x+1)+4x(x-4)-(21/4)(x-4)(x+1)

= 6x²+7x+21

ゆえに、与式は恒等式である。

よって、a=29/4, b=4, c=21/4

３．恒等式応用問題＆解説

最後に、恒等式を利用した応用問題を１つ解いてみましょう

【応用問題】

xの整式 x³+ax²+3x+10 を、整式

x²-x+6で割ると、商がbx+1、余りがRであった。

このとき、定数a, bとRを求めよ。

但し、Rはxの整式または定数とする。

【解答＆解説】

Rは余りなので、

R=cx+dとおく（割る式が2次式なので余りは1次以下になります）

すると、

x³+ax²+3x+10

= (x²-x+6)(bx+1)+cx+d

という等式が成り立つ。

これはxについての恒等式である。

右辺を整理して、

x³+ax²+3x+10

= bx³+(1-b)x²+(-1+6b+c)x+6+d

係数を比較して、

1 = b

a = 1-b

3 = -1+6b+c

10 = 6+d

これを解いて、

a=0, b=1, c=-2, d=-4

したがって、

a=0, b=1, R=-2x-4

いかがでしかたか？今回紹介した３つの問題は、基礎的な問題なので、必ず解けるようにしておきましょう！