多項式の全てがこれでわかる!多項式はこれで完璧だ!

数学 2016.11.25
多項式の全てがこれでわかる!多項式はこれで完璧だ!

多項式について、数学が苦手な人でも理解できるように、現役の早稲田大生が解説します。

本記事を読めば、多項式とは何か・多項式と単項式の違い・多項式の項、次数について・降べき、昇べきの順についてです。

本記事を読めば、多項式の基本が丸わかりです!

最後には、多項式に関する練習問題も用意した充実の内容です。

ぜひ最後まで読んで、多項式をマスターしてください!

 

    1:多項式とは(単項式との違いも)

    まずは多項式とは何かについて解説します。

    多項式とは、掛け算と足し算で成立している文字式のことです。

    例えば、2a+bは、2×a+bと表せますよね。よって、2a+bは掛け算と足し算で成立している文字式なので多項式です。

    2a2-3b2は、2×a×a+(-3×b×b)なので、2a2-3b2も掛け算と足し算で成立している文字式なので多項式です。

    ※マイナスが出てきた時は、「マイナスを足している(足し算)」って考えれば良いのですね。

    多項式とは何かの解説画像

    一方で、2aなどは、2×aなので、足し算が含まれていません。よって2aは多項式ではありません。(単項式という)

    ※単項式を詳しく学習したい人は、単項式について詳しく解説した記事をご覧ください。

     

      2:多項式の項について

      本章では、多項式の「項」とは何かについて解説します。

      多項式の項とは、多項式を「+」部分で区切った時に得られるもののことをいいます。

      例えば、2a+3という多項式があったとします。この多項式を「+」部分で区切ると、2aと3にわかれますね。

      よって、多項式2a+3の項は、2aと3ということになります。

      多項式2a2-10bの項は、2a2と-10ということになります。

      ※2a2-10b=2a2+(-10b)なので

      多項式の項についての解説画像

      以上が多項式の項とは何か?についての解説になります。

       

      3:多項式の次数について

      多項式に関する問題ではよく、「多項式の次数を求めよ」という問題が出題されます。

      本章では、多項式の次数とは何かについて解説します。

      「多項式の次数を求めよ」と言われた時は、

      ①各項において、文字が一番多く掛けられている項を見つける

      ②その項に文字が何回掛けられているかを求める

      という手順を行います。例題を解いてみましょう。

      多項式:例題

      多項式7a3b2+9ab3+3a3の次数を求めよ。

      解答&解説

      まずは、

      各項において、文字が一番多く掛けられている項を見つけます。

      7a3b2は、7×a×a×a×b×bなので、文字は5個掛けられています。

      9ab3は、9×a×b×b×bなので、文字は4個掛けられています。

      3a3は、3×a×a×aなので、文字は3個掛けられています。

      以上より、一番多く文字が掛けられているのは、7a3b2ですね。

      したがって、7a3b2+9ab3+3a3の次数は、7a3b2に掛けられている文字の個数を求めて、5ということになります。

      多項式の次数を求める時は、各項において、文字が一番多く掛けられている項を見つけましょう!

      多項式の次数に関する解説は以上になります。

       

        4:多項式における降べきの順と昇べきの順

        多項式の分野では、「多項式を降べき(昇べきの順)に並べよ」という問題もよく出題されます。

        本章では、多項式における降べきの順と昇べきの順について解説します。

        降べきの順は、次数が大きい方から順に並びかえることです。

        昇べきの順は、次数が小さい方から順に並びかえることです。

        例を見てみましょう。

        多項式9xy2+7x2y2+3xを降べきの順・昇べきの順に並べかえよ。

        解答&解説

        まずは降べきの順から並べ替えてみます。降べきの順は、次数が大きい方から順に並びかえれば良いのでした。

        9xy2の次数は3・・・①

        7x2y2の次数は4・・・②

        3xの次数は1・・・③

        多項式7x2y2+9xy2+3xを降べきの順に並べかえると、

        7x2y2+9xy2+3x・・・(答)

        ということになります。

         

        次は昇べきの順に並べかえてみます。昇べきの順は、降べきの順の逆なので、次数が小さい順に並べかえれば良いですね。

        よって、①〜③より、次数を小さい順に並べ替えて、

        3x+9xy2+7x2y2・・・(答)

        となります。

         

          5:多項式に関する練習問題

          最後に、多項式に関する練習問題を用意しました。本記事で学習した多項式に関する事柄が理解できたかを確認するのに最適な練習問題なので、ぜひチャレンジしてください!

          多項式:問題1

          次の中から多項式を全て選べ。

          4xy、3x+2y、5-3a、x2+4y2+z

          解答&解説

          多項式は、3x+2y、5-3a、x2+4y2+zの3つです。

           

          多項式:問題2

          多項式4x2yz3+y4z+8y3z4の次数を求めよ。

          解答&解説

          多項式の次数を求めるには、各項に文字が何個掛けられてるか?を調べれば良いのでしたね。

          4x2yz3は、文字が6個掛けられています。

          y4zは文字が5個掛けられています。

          8y3z4は、文字が7個掛けられています。

          したがって、文字が一番多く掛けられているのは8y3z4で7個なので、求める次数は7になります。

           

          多項式:問題3

          多項式6xy-4x+5x3+32を

          ①降べきの順

          ②昇べきの順に並べ替えよ。

          解答&解説

          まずは降べきの順に並びかえましょう。

          各項の次数を調べます。

          6xyの次数=2

          -4xの次数=1

          5x3の次数=3

          32の次数=0

          より、降べきの順に並びかえると、

          5x3+6xy-4x+32・・・(答)

          となります。

          昇べきの順に並びかえ流と、

          32-4x+6xy+5x3・・・(答)

          となります。

           

            多項式のまとめ

            いかがでしたか?

            多項式についての解説は以上になります。

            多項式は、数学の分野の中でも基礎の基礎なので、必ず理解しておきましょう。

            多項式に関する事柄を忘れてしまった時は、また本記事で多項式を復習してください。

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            この記事の執筆者

            ニックネーム:やっすん

            早稲田大学商学部4年
            得意科目:数学