必見!絶対知りたい三平方の定理の証明方法3選!見やすい図で即わかる

数学 2017.6.20
必見!絶対知りたい三平方の定理の証明方法3選!見やすい図で即わかる

高校数学で有名な公式の1つとして、三平方の定理があります。

※三平方の定理について詳しく知りたい人は、三平方の定理について解説した記事をご覧ください。

しかし、「三平方の定理は何か知ってるけど、なんで三平方の定理って成り立つの?」と思ったことはありませんか?

今回は、スマホでも見やすいイラストを使いながら、三平方の定理の証明を行います。

三平方の定理の証明方法は、ギネスブックによると520通りほどあるそうです笑

今回は、シンプルでわかりやすい三平方の定理の証明方法を3つ紹介します!

 

    1:三平方の定理の証明①(正方形を使った証明)

    まずは一番シンプルであろう三平方の定理の証明を紹介します。

    正方形を使った証明です。

    以下のように、正方形ABCDの中に正方形EFGHを入れた図を考えてみましょう。

    正方形ABCD

    この時、正方形ABCDの面積Sを2通りの方法で表してみます。

    まず、正方形ABCDの1辺の長さは(a+b)なので、

    S = (a+b)2・・・①

    ですね。

    また、

    正方形ABCD = 正方形EFGH + △AEH × 4

    ですね。

    △AEH=△FBE=△GCF=△DHGであることに注意してください。

    よって、

    S

    = c2 + 4 × (ab/2)

    = c2 + 2ab・・・②

    ①=②ですので、

    (a+b)2 = c2 + 2ab

    より、

    a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

    となるので、

    三平方の定理

    c2 = a2 + b2

    が証明されました。

    三平方の定理

     

      2:三平方の定理の証明②(直角三角形を3つ使った証明)

      三平方の定理の証明2つ目は、直角三角形を3つ使用した証明方法です。

      以下の図のように、3つの直角三角形を組み合わせます。

      ※緑色の2つの直角三角形は同じ形(合同)です。

      三平方の定理の証明解説

      ここで、台形ACDEの面積を2通りの方法で表してみます。

      台形ACDE

      = (AC+ED)×CD ÷ 2

      = (b+a)×(a+b)÷2

      = (a+b)2/2・・・③

      ですね。

      また、この台形ACDEは、3つの直角三角形からできているので、

      (台形ACDE)= (三角形ABC)+(三角形EBD)+(三角形ABE)

      となりますね。よって、

      台形ACDE

      = (ab)/2 + (ab)/2 + c2/2

      = ab + c2/2・・・④

      となります。よって、③=④なので、

      (a+b)2/2 = ab + c2/2

      両辺を2倍して整理して、

      a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

      より、

      c2 = a2 + b2

      となるので、三平方の定理の証明ができました。

      三平方の定理

       

      3:三平方の定理の証明③(相似を使った証明)

      最後は相似を使った三平方の定理の証明です。

      以下の図のように、直角三角形ABCの点Cから、辺ABに対して垂線Dを下ろします。

      直角三角形ABC

      すると、△BDCと△BCAにおいて、

      ・∠Bは共通

      ・∠BDC = ∠BCA = 90°

      なので、△BDCと△BCAは相似になりますね。

      よって、

      BC:BA = BD:BC

      より

      BC2 = BA×BD・・・⑤

      また、△ADCと△ACBにおいて、

      ・∠Aは共通

      ・∠ADC = ∠ACB = 90°

      なので、△ADCと△ACBも相似になります。

      したがって、

      AC:AB = AD:AC

      より

      AC2 = AB×AD・・・⑥

      ここで、⑤と⑥の左辺同士、右辺同士を加えると、

      BC2 + AC2 = AB(BD+AD)

      となるので、BC=a、AC=b、AB=cより(図参照)

      a2 + b2 = c2

      となるので、三平方の定理の証明ができました。

      三平方の定理

       

        三平方の定理の証明のまとめ

        いかがでしたか?

        三平方の定理の証明方法が理解できましたか?

        今回は3つの証明を紹介しましたが、三平方の定理の証明は他にもたくさんあります。ぜひ「三平方の定理 証明」などで検索してみてください。

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        この記事の執筆者

        ニックネーム:やっすん

        早稲田大学商学部4年
        得意科目:数学