必見!絶対知りたい三平方の定理の証明方法3選!見やすい図で即わかる

数学 2017.6.20

高校数学で有名な公式の1つとして、三平方の定理があります。

※三平方の定理について詳しく知りたい人は、三平方の定理について解説した記事をご覧ください。

しかし、「三平方の定理は何か知ってるけど、なんで三平方の定理って成り立つの?」と思ったことはありませんか?

今回は、スマホでも見やすいイラストを使いながら、三平方の定理の証明を行います。

三平方の定理の証明方法は、ギネスブックによると520通りほどあるそうです笑

今回は、シンプルでわかりやすい三平方の定理の証明方法を3つ紹介します!

【 目次 】

1:三平方の定理の証明①(正方形を使った証明)

2:三平方の定理の証明②(直角三角形を3つ使った証明)

3:三平方の定理の証明③(相似を使った証明)

 

1:三平方の定理の証明①(正方形を使った証明)

まずは一番シンプルであろう三平方の定理の証明を紹介します。

正方形を使った証明です。

以下のように、正方形ABCDの中に正方形EFGHを入れた図を考えてみましょう。

正方形ABCD

この時、正方形ABCDの面積Sを2通りの方法で表してみます。

まず、正方形ABCDの1辺の長さは(a+b)なので、

S = (a+b)2・・・①

ですね。

また、

正方形ABCD = 正方形EFGH + △AEH × 4

ですね。

△AEH=△FBE=△GCF=△DHGであることに注意してください。

よって、

S

= c2 + 4 × (ab/2)

= c2 + 2ab・・・②

①=②ですので、

(a+b)2 = c2 + 2ab

より、

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

となるので、

三平方の定理

c2 = a2 + b2

が証明されました。

三平方の定理

 

2:三平方の定理の証明②(直角三角形を3つ使った証明)

三平方の定理の証明2つ目は、直角三角形を3つ使用した証明方法です。

以下の図のように、3つの直角三角形を組み合わせます。

※緑色の2つの直角三角形は同じ形(合同)です。

三平方の定理の証明解説

ここで、台形ACDEの面積を2通りの方法で表してみます。

台形ACDE

= (AC+ED)×CD ÷ 2

= (b+a)×(a+b)÷2

= (a+b)2/2・・・③

ですね。

また、この台形ACDEは、3つの直角三角形からできているので、

(台形ACDE)= (三角形ABC)+(三角形EBD)+(三角形ABE)

となりますね。よって、

台形ACDE

= (ab)/2 + (ab)/2 + c2/2

= ab + c2/2・・・④

となります。よって、③=④なので、

(a+b)2/2 = ab + c2/2

両辺を2倍して整理して、

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

より、

c2 = a2 + b2

となるので、三平方の定理の証明ができました。

三平方の定理

 

3:三平方の定理の証明③(相似を使った証明)

最後は相似を使った三平方の定理の証明です。

以下の図のように、直角三角形ABCの点Cから、辺ABに対して垂線Dを下ろします。

直角三角形ABC

すると、△BDCと△BCAにおいて、

・∠Bは共通

・∠BDC = ∠BCA = 90°

なので、△BDCと△BCAは相似になりますね。

よって、

BC:BA = BD:BC

より

BC2 = BA×BD・・・⑤

また、△ADCと△ACBにおいて、

・∠Aは共通

・∠ADC = ∠ACB = 90°

なので、△ADCと△ACBも相似になります。

したがって、

AC:AB = AD:AC

より

AC2 = AB×AD・・・⑥

ここで、⑤と⑥の左辺同士、右辺同士を加えると、

BC2 + AC2 = AB(BD+AD)

となるので、BC=a、AC=b、AB=cより(図参照)

a2 + b2 = c2

となるので、三平方の定理の証明ができました。

三平方の定理

 

いかがでしたか?

三平方の定理の証明方法が理解できましたか?

今回は3つの証明を紹介しましたが、三平方の定理の証明は他にもたくさんあります。ぜひ「三平方の定理 証明」などで検索してみてください。

この記事の執筆者

ニックネーム:やっすん

早稲田大学商学部4年
大阪府出身
好きなこと:カラオケ、テニス
得意科目:数学
最近ハマっていること:炎天下のランニング

読み込み中