必見！絶対知りたい三平方の定理の証明方法3選！見やすい図で即わかる

高校数学で有名な公式の１つとして、三平方の定理があります。

※三平方の定理について詳しく知りたい人は、三平方の定理について解説した記事をご覧ください。

しかし、「三平方の定理は何か知ってるけど、なんで三平方の定理って成り立つの？」と思ったことはありませんか？

今回は、スマホでも見やすいイラストを使いながら、三平方の定理の証明を行います。

三平方の定理の証明方法は、ギネスブックによると520通りほどあるそうです笑

今回は、シンプルでわかりやすい三平方の定理の証明方法を３つ紹介します！

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1：三平方の定理の証明①（正方形を使った証明）

まずは一番シンプルであろう三平方の定理の証明を紹介します。

正方形を使った証明です。

以下のように、正方形ABCDの中に正方形EFGHを入れた図を考えてみましょう。

この時、正方形ABCDの面積Sを２通りの方法で表してみます。

まず、正方形ABCDの１辺の長さは(a+b)なので、

S = (a+b)²・・・①

ですね。

また、

正方形ABCD = 正方形EFGH + △AEH × 4

ですね。

※△AEH=△FBE=△GCF=△DHGであることに注意してください。

よって、

S

= c² + 4 × (ab/2)

= c² + 2ab・・・②

①＝②ですので、

(a+b)² = c² + 2ab

より、

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

となるので、

三平方の定理

c² = a² + b²

が証明されました。

 

2：三平方の定理の証明②（直角三角形を３つ使った証明）

三平方の定理の証明２つ目は、直角三角形を３つ使用した証明方法です。

以下の図のように、３つの直角三角形を組み合わせます。

※緑色の２つの直角三角形は同じ形（合同）です。

ここで、台形ACDEの面積を２通りの方法で表してみます。

台形ACDE

= (AC+ED)×CD ÷ 2

= (b+a)×(a+b)÷2

= (a+b)²/2・・・③

ですね。

また、この台形ACDEは、３つの直角三角形からできているので、

(台形ACDE)= (三角形ABC)+(三角形EBD)+(三角形ABE)

となりますね。よって、

台形ACDE

= (ab)/2 + (ab)/2 + c²/2

= ab + c²/2・・・④

となります。よって、③＝④なので、

(a+b)²/2 = ab + c²/2

両辺を２倍して整理して、

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

より、

c² = a² + b²

となるので、三平方の定理の証明ができました。

 

3：三平方の定理の証明③（相似を使った証明）

最後は相似を使った三平方の定理の証明です。

以下の図のように、直角三角形ABCの点Cから、辺ABに対して垂線Dを下ろします。

すると、△BDCと△BCAにおいて、

・∠Bは共通

・∠BDC = ∠BCA = 90°

なので、△BDCと△BCAは相似になりますね。

よって、

BC：BA = BD：BC

より

BC² = BA×BD・・・⑤

また、△ADCと△ACBにおいて、

・∠Aは共通

・∠ADC = ∠ACB = 90°

なので、△ADCと△ACBも相似になります。

したがって、

AC：AB = AD：AC

より

AC² = AB×AD・・・⑥

ここで、⑤と⑥の左辺同士、右辺同士を加えると、

BC² + AC² = AB（BD+AD）

となるので、BC=a、AC=b、AB=cより（図参照）

a² + b² = c²

となるので、三平方の定理の証明ができました。

 

三平方の定理の証明のまとめ

いかがでしたか？

三平方の定理の証明方法が理解できましたか？

今回は３つの証明を紹介しましたが、三平方の定理の証明は他にもたくさんあります。ぜひ「三平方の定理　証明」などで検索してみてください。

この記事の執筆者

ニックネーム：やっすん

早稲田大学商学部4年
得意科目：数学