背理法とは?例を使って慶應生がわかりやすく解説してみた

数学 2016.12.19

高校数学で学習する背理法とは何か?背理法の具体例をいくつか紹介します。

本記事では、数学が苦手な人でも背理法が理解できるように、現役の慶應生が背理法についてわかりやすく解説します。

背理法は、無理数であることの証明などでよく使われます。

背理法の具体例をいくつか見れば、背理法のイメージがつかめるでしょう。

ぜひ最後まで読んで、背理法を理解してください!

【 目次 】

1:背理法とは?

2:背理法の証明問題①

3:背理法の証明問題②

4:背理法の証明問題③

5:背理法の証明問題④

 

1:背理法とは?

まずは背理法とは何かについてわかりやく解説します。

背理法とは、「ある命題Aに対して、Aが成り立たないと仮定して矛盾を導くことで、命題Aが成り立つことを示す証明方法のこと」です。

例えば、「犬は動物である」という命題を背理法で証明してみるとします。

背理法を使う時はまず、命題が成り立たないと仮定します。つまり、「犬は動物ではない」という仮定を立てます。

そして、「犬は動物ではない」という仮定に矛盾を見つけます。

矛盾を見つけることで「犬は動物ではない」が否定されるので、結果的に「犬は動物である」という結論に達するわけです。

背理法の流れ解説画像

背理法の流れは以上のような感じです。では、次の章から背理法の具体例を見ていきます。

 

2:背理法の証明問題①

背理法の証明問題1

では、背理法の具体例1つ目です。

背理法:具体例

√5は無理数であることを、背理法で証明せよ。

解答&解説

背理法の超有名問題なので、必ず解けるようにしておきましょう!

まずは命題を否定します。つまり、「√5が無理数ではない」と仮定します。

つまり、「√5が有理数である」と仮定するわけですね。

※無理数と有理数があまり理解できていない人は、無理数と有理数について解説した記事をご覧ください。

すると√5は、互いに素な(1以外に公約数を持たない)自然数a、bを用いて

√5 = a/b と表現できます。

よって、

a = √5・b より

a2 = 5b2・・・①

したがって、a2は5の倍数なので、aも5の倍数です。

ゆえに、cを自然数として

a = 5c と表現できます。

これを①に代入して

25c2 = 5b2

より

5c2 = b2

b2は5の倍数なので、bも5の倍数です。

ここで、aも5の倍数であったことを思い出してください。

よって、aとbは公約数5を持つことになり、aとbが互いに素(1以外に公約数を持たない)ということに矛盾します。

以上より、「√5は有理数である」という仮定が成り立たないので、命題「√5は無理数である」が背理法により証明されました。

いかがですか?背理法のイメージがつかめましたか?

以上の問題は背理法の有名問題なので、必ず解けるようにしてください。

 

3:背理法の証明問題②

背理法の証明問題2

では、少し難易度が上がった背理法の問題を解いてみましょう。

背理法:具体例

√5+√7は無理数であることを背理法で証明せよ。ただし、√7が無理数であることは証明なしに使っても良い。

解答&解説

まずは命題を否定します。「√5+√7は無理数ではない」という仮定を立てます。

「無理数ではない」ということはこの時、√5+√7は有理数なので、Rを有利数として、

R=√5+√7 とおきます。

すると、

√5=R-√7 より

5=R2-2√7+7

なので、

2√7r=R2+2

Rは0ではないので、

√7=(R2+2)/2R・・・②

Rは有理数なので、②の右辺は有理数である。

しかし、②の左辺は無理数なので矛盾が生じる。

したがって、背理法より√5+√7は無理数となる。

 

4:背理法の証明問題③

では、背理法の証明問題の3つ目を解いてみましょう。

背理法:具体例

aとbを有理数とする。a+b√3=0ならば、a=b=0となることを背理法で証明せよ。

ただし、√3が無理数であることは証明なしに使っても良い。

解答&解説

命題を否定します。「b≠0」と仮定します。

すると、

√3=-a/b・・・③

となり、aとbは有理数なので、③の右辺は有理数です。

しかし、③の左辺は無理数です。従って矛盾が生じています。

よって、b=0となります。

すると、

a+0・√3=0 より

a=0となります。よって、命題が背理法で証明されました。

※一般に、次のことが成り立つので、覚えておきましょう!

背理法で覚えておきべき事柄

 

5:背理法の証明問題④

いよいよ最後の背理法の証明問題です。

背理法:具体例

a、b、x、yが有理数であるとする。

この時、

a+b√3=x+y√3

ならば

a=xかつb=y

となることを背理法で証明せよ。

解答&解説

まずは命題を否定します。今回は、「b≠y」と仮定します。

すると、a+b√3=x+y√3 より

(b-y)√3=x-a より

√3=(x-a)/(b-y)・・・④

です。ここで、「b≠y」より④の右辺は有理数です。

しかし、④の左辺は無理数です。よって、矛盾が生じています。

従って、背理法よりb=yが導けます。

ここで、

a+b√3=x+y√3

にb=yを代入すると、

a+y√3=x+y√3

となるので、a=xとなります。

従って、背理法より命題は真であることが証明されました。

※一般的に、次のことが成り立つので覚えておきましょう!

背理法で覚えておきべき事柄

いかがでしたか?背理法とは何か・背理法の使い方が理解できましたか?

背理法は高校数学でも重要な分野の1つです。背理法を忘れてしまった時は、また本記事を読み返して背理法を復習してください!


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