球の体積と表面積の公式と覚え方を一目でわかるように図を用いて解説します!練習問題付き

数学 2016.9.6
球の体積と表面積の公式と覚え方を一目でわかるように図を用いて解説します!練習問題付き

球の体積・表面積の求め方(公式)・公式の覚え方について、慶應大学に通う現役の大学生が、スマホでもPCでも見やすい画像を使って、中学生・高校生向けに解説します。

本記事を読めば、球の体積・表面積の求め方(公式)と覚え方が必ず理解できます!

また、最後には、球の体積・表面積に関する練習問題も用意しました。本記事だけで、球の体積・表面積について充実の内容です!

ぜひ最後までお読みください。

他の図形の表面積・体積の求め方を学びたい方は「 体積・表面積まとめ記事〜いろいろな図形の求め方を一気に学べる!〜」の記事も合わせてお読みください。

 

    1:球の体積の求め方(公式)

    まずは球の体積の求め方(公式)を紹介します。

    下の図のように、半径rの球があるとき、球の体積は4πr3 / 3 となります。

    球の体積の求め方・公式解説画像

    なぜ球の体積の公式が4πr3 / 3 になるのか疑問に感じる人もいるかもしれませんが、球の体積の求め方・公式の証明はかなり複雑ですので、学習する必要はありません。

    なので、本記事でも、球の体積の求め方・公式に関する証明は割愛させていただきます。

    しかし、球の体積の求め方・公式は必ず覚えておきましょう!

     

      2:球の体積の公式の覚え方

      先ほど、球の体積の求め方・公式を紹介しましたが、ハッキリ言って覚えにくい公式ですよね?

      この章では、球の体積の公式の覚え方をご紹介します!

      球の体積の公式は、『身の上に心配あ~るのさ』と覚えましょう!

      【球の体積の公式の覚え方】

      球の体積の公式の覚え方解説画像

      これで、球の体積の公式が覚えやすくなったのではないでしょうか?

      ぜひこの覚え方で、球の体積の公式を覚えてしまってください!

       

      3:球の表面積の求め方(公式)

      球の体積の求め方(公式)の次は、球の表面積の求め方(公式)を学習しましょう。

      下の図のように、半径rの球があるとき、球の表面積は、4πr2となります。

      球の表面積の求め方・公式解説画像

      これもまた、球の表面積の公式がなぜ4πr2となるのか疑問に思う人もいるでしょう。

      しかし、球の体積の公式と同様に、球の表面積の公式の証明も、学習する必要はありません。

      なので、本記事でも球の表面積の公式の証明は割愛させていただきます。球の表面積の公式だけ必ず覚えておきましょう!

       

        4:球の表面積の公式の覚え方

        球の体積の公式と同様に、球の表面積の公式の覚え方も紹介します。

        球の表面積の公式は、『表面に心配あるある』と覚えましょう。

        【球の表面積の覚え方】

        球の表面積の公式の覚え方解説画像

        ぜひこの覚え方で、球の表面積の公式を覚えてください!

        『表面に心配あるある』・・・と何度も唱えましょう!

         

          5:球の体積・表面積に関する練習問題

          最後に、球の体積・表面積に関する練習問題を解いてみましょう!

          今回学習した公式を実際に使ってみましょう!

          球の体積に関する問題

          下の図のように、半径3の球がある。この球の体積を求めよ。

          球の体積に関する問題の画像

          【解答&解説】

          球の体積の公式をつかいましょう!球の体積の公式は、4πr3 / 3でしたね。

          4πr3 / 3 にr=3を代入します。

          4π×33 / 3

          = 36π・・・(答)

          となります。簡単ですよね?

          球の体積の公式は必ず覚えましょう!

           

          球の表面積に関する問題

          下の図のように、半径3の半球があるとき、この球の表面積を求めよ。

          球の表面積に関する問題の画像

          【解答&解説】

          半球(球を2等分したうちの片方)ということに注意しましょう!

          まずは、球の表面積の公式を使います。球の表面積の公式は4πr2でしたね。

          よって、

          4π×32

          =36π

          です。しかし、今回は半球なので、36πの半分となり、

          18π・・・①

          となります。

          まだこれで終わりではありません!

          半球の底の部分を足していませんね!

          半球の底の部分に注目

          半球の表面積を求める問題では、半球の底の部分の足し忘れに注意しましょう!

          半球の底の面積

          = 3×3×π

          = 9π・・・②

          よって、この半球の表面積は、

          ① + ②

          = 18π + 9π

          = 27π・・・(答)

          となります。

           

            球の体積と表面積の公式のまとめ

            球の体積・表面積の求め方(公式)・覚え方の解説はこれで終わりです。

            球の体積・表面積の求め方(公式)は意外と忘れがちなので、本記事で紹介した覚え方でぜひ覚えてください!

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            この記事の執筆者

            ニックネーム:やっすん

            早稲田大学商学部4年
            得意科目:数学