平方根とは?東大生が平方根の計算方法や覚え方を伝授!

数学 2018.1.29

中学生の中には平方根に苦手意識を持つ方が多いのではないでしょうか?

中学数学の中でも屈指の難易度を誇る平方根について、東大生が基礎からわかりやすく説明していきます!

平方根そのものの意味や平方根を扱った応用問題までカバーするので、数学が得意な方も苦手な方も是非最後までみてください!

平方根は高校入試や高校数学の計算でも何度も出てくるので、この記事を読んで平方根をしっかりマスターしてくださいね。

特に三平方の定理を使うときなどに平方根が出てくるので図形問題でもよく使いますよ!

この記事を読んで今のうちに基本をマスターしましょう!

1.平方根とは?どういうもの?求め方を解説!

そもそも「平方根」という言葉自体どういう意味かわかりますか?

「平方」という言葉は「同じ数2つを掛け合わせること」という意味「根」という言葉は「ある数を何乗かした数に対するそのもとの数」(共に広辞苑から)となっています。

ここから考えると、平方根は「ある数を2乗した時の数に対するそのもとの数」となります。

なんだかややこしいですね。

実際に例を見ながら考えてみましょう。

25という数字は5を二乗したもの(5×5=25)ですよね?

ということは、”5”は、5を二乗した時の”25″に対するもとの数となります。

つまり、5は25の平方根であると言えるのです。

なんとなくイメージが掴めたでしょうか?

難しく考えないでも、○の平方根を求めなさいと言われたら、何を二乗すれば○になるのか考えればいいということです。

ここで、ひとつ注意点があります。

例えば36の平方根を求めなさいと言われたとします。

二乗すると36になる数字は…6ですよね、だから36の平方根は6となる!

これは間違いです。

いったいなぜでしょうか?

確かに6を二乗すれば6×6=36となります。

でも、(-6)を二乗しても(-6)×(-6)=36となりますね。

したがって、36の平方根は6と-6の2つがあるのです。(それぞれ正の平方根、負の平方根と言います)

つまり、ある数の平方根はプラスとマイナスの2種類あるということを覚えておきましょう!

テストでは正と負、両方書かないとバツになりますよ!

それではこんな場合はどうでしょうか?

-25の平方根を求めよ

おかしいと思った方、正解です!

二乗したらマイナスの数になることはあり得ませんよね?(高校数学では虚数と言って二乗するとマイナスになる数を扱いますが、中学生のうちはこのように考えてもらって構いません!)

ですから-25の平方根は「なし」となるのです。

平方根のイメージが掴めたでしょうか?

それでは次からは平方根に関する大事な記号ルート(√)について次の項で学んでいきましょう!

 

2.ルートって何?平方根とのつながりは?

平方根についてなんとなくわかったと思いますが、21の平方根を求めよと言われたらどうしますか?

先ほどみたいに二乗して21になる数字を考えてみたいのですが、二乗して21になる数ってわかりませんよね。

4の二乗は16、5の二乗は25、ですから4と5の間の数字のどれかを二乗すれば21になることはわかるのですが、なかなか求められそうにありません。

そんな時に登場するのが記号ルート(√)なのです!

ルートという記号は数字や文字にかぶせるだけで平方根を求められるすごい記号なんです!

例えば、25の平方根は平方根1、-平方根1と表すことができます。

この調子で21の平方根を求めると平方根2、-平方根2となりますね(まとめて±平方根2とも表せます)

そんな便利な記号√ですが、使う時に一点注意があります。

先ほどマイナスの数の平方根は存在しないと言いましたよね?

でも、数字に√を被せれば平方根が求められるじゃん!と思う方もいるはずです。

しかし、これはやってはいけません。

こうした矛盾を防ぐために、√の中身は0以上でなければならないという決まりがあるのです。

ルートの中身が文字になったりすると忘れがちな条件なので、常に意識するようにしましょう!

 

3.ルートってどうやって計算するの?平方根の計算方法

では平方根やルートがどんなものかわかったところで、ルートが入った計算をしていきましょう!

計算の前に、ルートについての決まりを紹介しますね。

大事な決まりとして平方根3=aという性質が成り立ちます。

これは、25(=52)の平方根が5とも平方根1とも表せることから来ています。

また、平方根4を考えてみると、素因数分解により平方根4=平方根5=平方根6となりますね、ここで平方根7=5を利用して平方根6=5×平方根8(5平方根8)となります。(素因数分解について解説した記事はコチラ)

このように、ルートの中に二乗した数があった場合、それを外に出すことができるのです。

例えば平方根10=平方根9=2平方根8と言った感じです。(計算して答えを書くときは、2平方根8のようにできるだけルートの中を簡単にした答えを書くようにしましょう。)

こうした決まりは計算していけば慣れていくので、たくさん計算問題に取り組みましょう!

これでルートを使った計算をする準備ができました。

これから計算の仕方を説明しますが、足し算・引き算と掛け算・割り算で計算方法が違うので注意してくださいね!

 

足し算・引き算の場合

この時はルートの中が同じもの同士は足し算や引き算が可能となります。

つまり、平方根8+5平方根8=6平方根8と言った具合です。

気をつけて欲しいのが、ルートの中身が違うと計算できないとうことで、平方根11+平方根8=平方根10とはなりません。

平方根11+平方根8はそれ以上計算できないのです。

したがって、平方根11+平方根8-6平方根11=-5平方根11+平方根8と言った形になります。

このように、足し算・引き算をする時は√の中身の数字に注目して計算しましょう!

 

掛け算・割り算の場合

掛け算や割り算の場合は簡単で、まとめてルートの中に数を入れて計算すれば良く、

平方根8×=平方根13=平方根11となります。

割り算だと

平方根8÷=平方根14となります。

ここで、平方根14という値が出てきました。

これ以上計算できないように見えますが、一般的にルートの中が分数になった場合は有理化という作業をする必要があります。

この例で有理化すると、平方根14=平方根23=平方根24となります。

このように有理化とは、ルートの中の分母の数を分子・分母の両方にかけることで分母からルートを取り除くということなのです。

有理化にも色々テクニックはありますが、基本は分母からルートを取り除く作業と思ってもらえばOKです!

有理化をしないと減点される場合もあるので、有理化ができる場合は必ず有理化をするように日頃から意識しましょうね!

 

4.平方根の近似値と誰でも覚えられる覚え方!

以上述べてきたように、平方根の値について25の平方根は±5、9の平方根は±3となります。

では、2の平方根の一つである平方根8の値はどうなるでしょうか?

1を二乗すると1、2を二乗すると4となり、簡単には求められそうにありません。

そこで、よく使う平方根8平方根15、については近似値(ほとんどそれに等しい値)を有名な語呂合わせで覚えてしまいましょう!

平方根8=1.41421356…(一夜一夜に人見頃:ひとよひとよにひとみごろ)

=1.7320508…(人並みに奢れや:ひとなみにおごれや)

平方根15=2.2360679…(富士山麓オウム鳴く:ふじさんろくおうむなく)

となります。この3つの値は図形問題でも出てくることが多い値なので完璧に覚えましょう

この近似値を使えば平方根16=平方根8×平方根17=1.414…×10=14.14…という具合に色々な値の近似値が求められます!

このように、だいたいの値を知りたい時は知っている近似値を組み合わせて求めましょう!

 

5.平方根が登場する問題とその解き方を紹介!

それではここまで平方根について説明して来ましたので、まとめとして平方根が登場する問題を解いてみましょう!

 

問題:(平方根8+平方根10+平方根18)を計算せよ

解答:まずはかっこの中を計算できるか考えましょう。

一見計算できなさそうですが平方根8+平方根10+平方根18=平方根8+2平方根8+2=3平方根8+2となります。

ですから、(3平方根8+2)=3平方根11+2×3=3平方根11+6…答え

まずは計算問題ですね。このように計算問題でも、平方根についての知識を総動員する問題が出るのでたくさん練習しましょう!

 

問題:平方根8×平方根11÷+3+(2平方根8-2平方根11 を計算せよ。

解答:平方根の計算法則に当てはめると、

平方根8×平方根11÷=平方根19=平方根20=2

(2平方根8-2平方根11=2平方根14-2平方根21=2/3×平方根11-2平方根8(※先ほど解説した有理化を行いました。)

より、2+3+2/3×平方根11-2平方根8=5+2/3×平方根11-2平方根8…答え

となります。

計算問題は慣れが大事なので、教科書や問題集をフル活用してたくさん演習してくださいね!

それでは平方根にまつわる応用問題に挑戦してみましょう。

 

問題:平方根22が正の整数になるような最小の自然数xを求めよ。

解答:ルートの中がある数の二乗になれば平方根22は正の整数となる。

ここで、6=2×3であるから、xが最小の自然数となるにはルートの中が22×32となれば良い。

したがってx=2×3=6となる。…答え

となります。

今までとは違った問題ですが、ルートが外れるときその中身が平方数(二乗した数)であればよいことを知っていれば簡単ですね!

では最後にこの問題をやってみましょう。

 

問題:1.81、平方根14、9/10 という4数を大きい順に並べよ

解答:四つの数を大きい順に並べよという問題です。

少数や分数、平方根など簡単には比べられそうにありません。

先ほど近似値のところで=1.73…であると紹介しましたよね。

したがって1.81>となるのはわかりました。

それでは平方根14と9/10ではどうなるでしょうか?

一見するとわかりませんよね。

そこで、平方根が入った大小比較問題ではあるテクニックを使うと簡単に問題が解けるので紹介します。

この時、すべての数は0より大きいですよね。

ならば、すべての数を二乗しても大小関係は変化しません

実際に二乗してみると、3.2761、3、2/3、81/100となりました。

2/3≒0.666…、81/100=0.81であるので、大きい順に並べると3.2761、3、0.81、0.66ですね。

したがって、元の数を大きい順に並べると1.81、、9/10、平方根14となります…答え

大小比較したい時には二乗して平方根を外すことを意識しましょう!

 

以上、平方根にまつわる問題を紹介してきましたが、平方根を使った計算や大小比較の問題は高校入試では必ず出ると言っていいほど重要な分野です。

ルートの計算に最初は戸惑うかもしれないですが、”慣れ”れば確実に計算できるようになります

そのためにも、教科書やドリルで問題演習を繰り返してくださいね。

高校数学の基礎ともなるので、確実にマスターして数学を自分のモノにしていきましょう!


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この記事の執筆者

ニックネーム:はぎー

東京大学理科二類2年
山梨県出身
好きなこと :スポーツ
得意科目:化学
ハマっていること:ひたすら寝ること

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