対称式とは?テスト前10分で対称式をマスター

数学 2019.1.30
対称式とは?テスト前10分で対称式をマスター

高校数学で文系・理系を問わず覚えておきたいのが、対称式です。

一見難しそうにも思えますが、一度覚えてしまえばあとは機械的に問題を解くことができますので、必ず得点アップにつながります。

今回は、そんな対称式について解説します。

    1.対称式とは?交代式とは?

    対称式とは、文字を入れ替えても成立する式のことです。
    例えば x+y は、y+x としても成立します。
    同様に xy=yx、x2+y= y2+xとなり、これらは対称式です。

    もちろん対称式にならない式も存在します。
    x-y≠y-x ですから、x-yは対称式ではありません。

    しかし、x-yは対称式ではありませんが、交代式ではあります。

    交代式とは、2つの変数を入れ替えた際に-1倍になる式のことです。

    x-yは変数を入れ替えた場合に、x-y=(y-x)×(-1)が成り立つため、交代式といえるでしょう。

    では、x2-yはどうでしょうか。

    これも対称式ではありませんが、元の式の変数を入れ替えると、
    x2-y2=(y2-x2)×(-1)が成り立つため、交代式となります。

    このように、2つの変数を入れ替えて-1倍になる式を交代式といいます。

      2.対称式の公式を覚えよう

      対称式の問題を解くためには、対称式の公式が必要です。

      この公式も、難しいものではありませんので、覚えてしまいましょう。

      ここで基本となるのが、基本対称式と呼ばれるものです。
      2変数の基本対称式は x+y と xy の2つ、
      3変数の基本対称式は x+y+z 、xy+yz+zx 、xyz の3つです。

      これは、nを整数とすると、一般に xn+yは x+yとxy だけで現すことができ、同様に、xn+yn+zは x+y+z, xy+yz+zx, xyz の3つだけで表すことができることを意味します。

      ここからがとても大切です。
      対称式の変換公式を4つ紹介しますので、必ず覚えるようにしてください。

      ・x2+y2=(x+y)2-2xy
      ・x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)
      ・x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+yz+zx)
      ・x3+y3+z3=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)+3xyz

      式にしてみると、因数分解に似ています。
      実際に書き出してみると、

      (x+y)2=x2+2xy+y2
      ∴ x2+y2=(x+y)2-2xy

      (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3
      x3+y3=(x+y)3-3x2y-3xy2
      ∴ x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)

      となり、たしかに公式のようになることが確認できました。

      ちなみに、対称式を因数分解することもできます。
      どちらも同じ結果になりますので、のちほど紹介しましょう。

      もう1つ覚えておきたいのが、分数の形で表される対称式の公式です。
      対象式,因数分解,分数で示される値は、 対象式,因数分解,分数がわかれば計算できます。
      下の2つの公式を覚えておきましょう。

      対象式,公式,

      3.対称式を例題で覚えよう

      以下に、対称式の例題を用意しました。
      実際に解いてみて、手を動かしながら覚えてください。

      例題1

      x+y=3, xy=4のとき、x2+y2とx3+y3を求めよ。

       

      解答と解説

      x2+y2
      =(x+y)2-2xy
      = 32-2・4
      =1

      x3+y3
      =(x+y)3-3xy(x+y)
      =33-3・4・3
      =-9

      なお、x3+y3は因数分解によって解くこともできます。

      x3+y3
      =(x+y)(x2-xy+y2)
      =3(1-4)               (x2+y2=1より)
      =-9

       

      さて、この程度であれば簡単ですが、これがさらに高次の式になるとどうでしょうか?
      たとえば、x8+y8であれば、そう簡単には解けそうにありません。
      こうしたときに役立つのが、漸化式です。

      xn+yn=(x+y)(xn-1+yn-1)-xy(xn-2+yn-2)

      試しにn=3を代入して、この式が成り立つことを確認してみてください。
      この漸化式を覚えておくと、どんな高次の式にも対応できます。

        4.入試に出そうな対称式を練習しよう

        次は、先ほどよりも少しレベルアップした対称式の問題を解いてみましょう。

         

        例題2
        対象式,例題

         

         

        解答と解説
        対象式,例題

         

         

        例題3
        対象式,例題

         

        解答と解説

        対称式の練習問題3

        対象式,例題

        また、こちらの問題は、因数分解を使って解くこともできます。

        対象式,例題

        そして、3問目です。

        対称式の練習問題

         

        このように、分数が関わる2変数の対称式は大学入試で頻出しますから、しっかりと解法を覚えてください。

         

        次に、3変数の対称式の例題を解いてみましょう。

        復習ですが、3変数の対称式の公式は、

        x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+yz+zx)
        x3+y3+z3=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)+3xyz

        の2つです。

         

        例題4

        x+y+z=4, xy+yz+zx=5, xyz=6 のとき、x2+y2+z2, x3+y3+zを求めよ。

         

        解答と解説

        x2+y2+z2
        =(x+y+z)2-2(xy+yz+zx)
        =42-2・5
        =16-10
        =6

        x3+y3+z3
        =(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)+3xyz
        =4(6-5)+3・6     (x2+y2+z2=6より)
        =4+18
        =22

          5. 対称式:おわりに

          以上、対称式の定義と解法を例題を用いて解説しました。
          公式と因数分解を使って解く方法を、2つセットで覚えておきましょう。

          ※因数分解について、詳しくはこちらの記事をご覧ください

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          この記事の執筆者

          ニックネーム:受験のミカタ編集部

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