テイラー展開・マクローリン展開とは？証明方法と公式の使い方を解説

「テイラー展開・マクローリン展開は関数が複雑で理解できない…」「いつテイラー展開を使えばいいの？」と感じている方も少なくないでしょう。

テイラー展開（級数）を使うと、複雑な関数をx＝０付近で関数の形を近似できます。使いこなすと、√2、sin1、e（自然対数）のような無理数の近似値を手計算で求めることができます。

この記事を読むことで、テイラー展開とマクローリン展開の公式と求め方を習得できます。練習問題で実際に無理数を計算してみましょう！

【PR】勉強を効率的に継続して、志望校に合格したい方必見！

↓無料ダウンロードはこちら↓

テイラー展開とは？|関数の計算を簡単にできる

テイラー展開とは関数を

…①

と表したものです。

このように表すことが出来れば、どんなxを代入してもf(x)を求めることが出来ます。

例えば、次のような関数について考えてみましょう。

x=1を代入してみます。

f(1)=sin1=…

このままでは関数sin1の値を求めることが出来ません。

ですがテイラー展開をして①のように表すことが出来れば、この値を求めることが可能になります！

最も簡単な例として二次関数があります。

例えば

という関数を考えたとき、①と比較すると

であり、f(1)=5+3+4=12と求めることが出来ます。

テイラー展開により①のように表せることが出来れば、xにどんな値を代入しても求めることが可能になるのです。

つまり、電卓やexcelを使わずにどんな値でも手計算で求めることが出来るのです。

よく使うものとして、sin,cos,e,√などがあります。

テイラー展開の証明

近似式の知識を使って、テイラー展開の証明をしていきましょう。

近似式の知識に不安を覚える場合は、「近似式とは？練習問題で微分の応用を理解しよう！」の記事を参考にしましょう。

1.テイラー展開とは？で記載した①において、aの値は予め自分で好きに決めることができます。

それではkを求めることを目的に、証明していきます。

k0の求め方

①にx=aを代入すればx-aの部分が全て0、
すなわちとなります。

よって、 =  f(a) です。

k1の求め方

ここで、関数f(x)を微分してみます。

するととなるので
を求めた時と同じようにx=aを代入し= f'(a)となります。

k2の求め方

さらに、f'(x)を微分してみます。

するととなるので
x=aを代入しと求めることができます。

kn(n≤3)の求め方

同様に微分、x=aを代入、微分、x=aを代入、…を繰り返していくと

と、なっていることに気づきます。

実際にn=0,1,2はこの式に当てはめてみると上で求めたものと一致しています。（※0!=1）

証明のまとめ

以上より、テイラー展開は

となります。

また、ここで注意してほしいことがあります。

それは関数f(x)はaという値で微分可能であるということです。

もし微分可能でなければ全てのkは求めることが出来ません。

その一例として関数をテイラー展開する際はx=1で微分可能ではないのでaは１以外の値に決めなくてはいけません。

テイラー展開とマクローリン展開の違い

テイラー展開を学ぶ際、必ずと言っていいほどマクローリン展開という言葉も出てきます。

マクローリン展開はテイラー展開におけるaに０を代入したものです。

すなわち、

となるものです。

aの値は自分で決めることができるので、どんな値を代入しても大丈夫なのですが
ほとんどの場合a=0として求めることが多いです。
その理由は0を代入すると簡単に計算できるからです。

マクローリン展開は実際に使うことが多いので、覚えておいてください。

マクローリン展開のよく使う公式一覧

マクローリン展開のよく使う3つの公式とその求め方を紹介します。

公式一覧

求め方

【sinx】

【cosx】
【】

マクローリン展開の練習問題

【問題】√2の近似値を求めよ

【解答】公式に従ってマクローリン展開すると

となるので、x=1を代入して

 

と、計算することが出来ます。

ちなみに、一般的には√２＝1.41421356…なので今回の計算では小数第一位まで近似できたと言えます。

マクローリン展開をさらに行うとこの値に近づきます。

【問題】eの近似値を求めよ

【解答】マクローリン展開を行うと

となるので、x＝１を代入して

と計算することが出来ます。

一般的にe=2.7182818…と言われているので小数第二位まで近似できたと言えます。

まとめ

このように高校数学の微分の知識を使えば電卓でしか求めることが出来なかった無理数の近似値を手計算で求めることが出来ます。

テイラー展開、マクローリン展開は、理系の学生であれば大学1年生で学ぶことなのでぜひ覚えておきましょう！

この記事の執筆者

ニックネーム：受験のミカタ編集部

「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している「受験応援メディア」です。