5分で分かる!正弦定理の公式・解き方

数学 2015.8.12

正弦定理・余弦定理は、平面図形の分野において、最初に出てくる基礎の定理です。

今回は、正弦定理の公式をただ覚えるだけでなく、具体的な例題を通じて正弦定理をどのように使えば良いかを解説していきます。是非、正弦定理をマスターしてください!

1. 公式を覚えよう
2. 問題を解こう

 

1. 公式を覚えよう

まずはしっかり正弦定理の公式を覚えてしまいましょう。

正弦定理

 

以下の有名な三角形に正弦定理を使ってみましょう。

正弦定理2

\frac{2\sqrt 3}{sin60}=\frac{2}{sin30}=\frac{4}{sin90}=4

正弦定理が成立します。 

この時、外接円の半径R=2になります。

正弦定理は、角度と辺の長さから、円の半径を求めることが出来るので、単なる三角形の問題だけでなく、円の問題に応用することが出来ます。

 

. 問題を解こう 

正弦定理問題① 別ver

<解答>

まず、∠ACBを求めると、

180°-(30°+120°)=30°であることが分かる。

ここで正弦定理を使う。

\frac{AB}{sin30}=\frac{6}{sin120}

 

sin30=\frac{1}{2} sin120=\frac{\sqrt 3}{2}

なので当てはめると

AB=2√3になる。

Rも同様に、正弦定理を使って求める。

 

\frac{AB}{sin30}=2R

なので、先ほど求めたABを当てはめると、

R=2√3であることが分かる。

 

正弦定理

<解答>

これは応用問題である。この問題は一見三角形もしくは四角形の問題に見える。しかし、ここに円を見つけられるか、正弦定理を使えるかがこの問題ではポイントになる。

 

まず、着目ポイントは

∠BADならびに∠BCDが直角である。

よって、四角形の対角の角度の合計が180°になるので、内接する四角形の性質より、□ABCDは円に内接する事が分かる。

正弦定理問題②

ここで、△ABCに正弦定理を使う。

\frac{BC}{sinBAC} =R

よって

\frac{6}{sin45} =R

 R=6√2になる

 

ここまで解ければ正弦定理はマスターです。

正弦定理は、決して三角形の公式ではなく、円と三角形を結びつける公式です。しっかり復習しましょう!


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