相加相乗平均とは？公式・証明から使い方までが簡単に理解できます（練習問題付き）

高校数学における、相加相乗平均について、数学が苦手な生徒でも理解できるように解説します。

現役の早稲田生が相加相乗平均について丁寧に解説しています。

相加相乗平均は、数学の問題の途中で利用することが多く、知っていないと解けない問題もあったりします。

本記事では、一般的な相加相乗平均だけでなく、3つの変数における相加相乗平均や、使い方についても解説していきます。

相加相乗平均について充実の内容なので、ぜひ最後まで読んでください！

 

1：相加相乗平均とは？（公式）

まずは、相加相乗平均とは何か（公式）を解説します。

相加相乗平均とは、「2つの実数a、b（a>0、b>0）がある時、(a+b)/2≧√abが成り立ち、等号が成り立つのはa=bの時である」という公式のことをいいます。

※実数の意味がわからない人は、実数とは何かについて解説した記事をご覧ください。

また、(a+b)/2をaとbの相加平均といい、√abのことを相乗平均といいます。

以上が相加相乗平均とは何か（公式）についての解説です。

次の章では、相加相乗平均が成り立つ理由（証明）を解説します。

 

2：相加相乗平均の証明

では、相加相乗平均の証明を行っていきます。

a>0、b>0の時、

a+b-2√ab

=(√a)²-2・√a・√b+(√b)²

=(√a-√b)²≧0

よって、

a+b-2√ab≧0

となるので、両辺を整理して

(a+b)/2≧√ab　となります。

また、等号は

(√a-√b)²=0

より、

√a=√b、すなわち

a=bの時に成り立ちます。

以上で相加相乗平均の証明ができました！

 

3：相加相乗平均の使い方

相加相乗平均はどんな場面・問題で使うのでしょうか？

本章では、例題を１つ使って、相加相乗平均の使い方をイメージして頂ければと思います。

使い方：例題

a>0とする。この時、a+1/2aの最小値を求めよ。

解答＆解説

相加相乗平均より、

a+1/2a ≧ 2・√a・(1/2a)

です。

右辺を計算すると、

2・√a・(1/2a)

=√2

となるので、

a+1/2aの最小値は√2となります。

相加相乗平均の使い方がイメージできましたか？

今までは、aとbという2つの変数の相加相乗平均を解説してきました。

しかし、相加相乗平均は3つの変数でも活用できます。次の章からは、3つの変数の相加相乗平均を解説します。

 

4：変数が3つの相加相乗平均

変数が3つある場合の相加相乗平均は、「(a+b+c)/3≧(abc)^1/3」となり、等号が成り立つのはa=b=cの時です。

ただし、a>0、b>0、c>0とする。

次の章では、変数が3つの相加相乗平均の証明を解説します。

 

5：変数が3つの相加相乗平均の証明

少し複雑な証明になりますが、頑張って理解してください！

まず、

x³+y³+z³-3xyz

=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)・・・①

です。ここで、x>0、y>0、z>0の時、①の右辺は、

x²+y²+z²-xy-yz-zx

=(2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2zx)/2

={(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²}/2≧0

となります。よって、①より

x³+y³+z³-3xyz≧0となりますね。

式を変形して、

(x³+y³+z³)/3≧xyz・・・②

となります。

ここで、x=a^1/3、y=b^1/3、z=c^1/3

とおくと、②は、

(a+b+c)/3≧(abc)^1/3

となることがわかりました。

等号は、

x=y、y=z、z=xの時、すなわちa=b=cの時に成り立つことがわかります。

変数が3つの場合の相加相乗平均の証明は以上になります。

次の章では、相加相乗平均の問題をいくつか出題します。ぜひ解いてみてください！

 

6：相加相乗平均の問題

では、早速相加相乗平均の問題を解いていきましょう！

問題①

a>0、b>0とする。

この時、(b/a)+(a/b)≧2となることを証明せよ。

解答＆解説

相加相乗平均より、

(b/a)+(a/b)≧2・√(b/a)・(a/b)

となるので、

(b/a)+(a/b)≧2

となります。よって示された。

 

問題②

a>0、b>0とする。

この時、ab+(9/ab)≧6となることを証明せよ。

解答＆解説

相加相乗平均より、

ab+(9/ab)≧2・√ab・(9/ab)

となるので、

ab+(9/ab)≧6

となる。よって、示された。

 

問題③

a>0、b>0とする。

この時、(2a+b)(2/a+1/b)≧9となることを証明せよ。

解答＆解説

まずは、

(2a+b)(2/a+2/b)≧9

の左辺を展開してみましょう。すると、

4+(2a/b)+(2b/a)+1≧9

となるので、

(2a/b)+(2b/a)≧4

より、両辺を2で割って、

(a/b)+(b/a)≧2

となります。すると、問題①と同じになりましたね。

相加相乗平均より、

(a/b)+(b/a)≧2・√(a/b)・(b/a)

なので、

(a/b)+(b/a)≧2

が証明されました。

 

まとめ

相加相乗平均の公式や使い方が理解できましたか？

相加相乗平均は高校数学で忘れがちな公式の１つです。

相加相乗平均を忘れてしまったときは、また本記事で相加相乗平均を復習しましょう！

この記事の執筆者

ニックネーム：やっすん

早稲田大学商学部4年
得意科目：数学