組立除法のやり方と高次方程式の解き方を解説!

数学 2018.12.14

組立除法は整式を1次式で割ったときの商と余りを求めるのに便利な方法です。

数学Ⅱで学習する高次方程式の分野で、剰余の定理や因数定理について習いますが、整式を整式で割るような計算がでてきます。

特に因数定理を使った後には、元の整式を因数分解するために、1次式で割ることが多いです。

普通に整式の割り算で計算しても良いですが、組立除法を使うと簡単に計算できます。

手間を省いて効率よく計算できます。
この記事では、組立除法についてまとめます。

 



1.組立除法:計算方法

2x3-4x2+5x-3 で割ることを考えます。

突然ですが、組立除法による計算方法を紹介します。
なぜ、そのようなことができるかは、後に詳述しますので、確認してください。

左上に x-33の部分を、その横に割られる整式の係数のみを順番に書き込んでゆきます。
このとき、左上が -3 でなく、3であることに注意しましょう。

また、係数を書き込む際に、抜けている次数の係数を抜かさないようにします。
2x3-4x2+5 なら 2x3-4x2+0x+5 と考えて、2, -4, 0, 5 を順番に書きます。

 

3 2 4 0 5
         
         

 

最高次数の係数をそのまま下に降ろして、書き込みます。

3 2 4 0 5
         
  2      

 

左上の数字(=3)と降ろした数字(2)の積を2次の次数の係数の下に書き込みます。

3 2 4 0 5
    6    
  2      

 

2次の次数の数を縦に足します。

3 2 4 0 5
    6    
  2 2    

 

2次の次数を足した結果(=2)と左上の数字(=3)をかけて次の次数に書き込む

3 2 4 0 5
    6 6  
  2 2    

 

以上を繰り返して最後まで数字を求める。

3 2 4 0 5
    6 6 18
  2 2 6 23

表のすべてが埋まりました。
こうして求めた数字は、以下のような意味があります。

一番下の行の一番右に表れた数(=23)が、2x3-4x2+5 を x-3 で割った余りを表す。
一番下の行の余り以外の数字(=2, 2, 6)が、2x3-4x2+5を x-3 で割った商の係数を表す。

つまり、2x3-4x2+5 を x-3 で割ると、商は 2x2+2x+6 であり、余りは23となります。
3次式を1次式で割っているので、商が2次式、余りが定数になります。

2x3-4x2+5 =(x-3)(2x2+2x+6 )+23

が成立することにも注目しておきましょう。

以上が組立除法のやり方です。

 



2.組立除法の証明:3次式のとき

なぜ組立除法を使って、商と余りを求めることができるのかについて説明します。

3次方程式

P(x)=ax3+bx2+cx+d

を、

x-k

で割ることを考えます。

このときの商をlx2+mx+n、余りをRとおきます。

考えるのは元の整式 P(x) の係数である、a,b,c,d と、割る整式 x-k の定数部分 k から、商と余りの情報 l,m,n,R を求められるか、ということです。

P(x)=ax3+bx2+cx+d を x-k で割った商がlx2+mx+n、余りが R ですので、以下の式が成立します。

ax3+bx2+cx+d=(lx2+mx+n)(x-k)+R

右辺を展開して整理すると

ax3+bx2+cx+d=lx3+(m-lk) x2+(n-mk)x+R-nk

となります。
これが恒等式になっていますので、両辺の係数を比較して

a=l
b=m-lk
c=n-mk
d=R-nk

となります。a,b,c,d,k から l,m,n,R を求めることが目的ですので、式を以下のように整理しましょう。

l=a
m=b+lk
n=c+mk
R=d+nk

ここから、組立除法の方法で係数と余りが求められることがわかります。
つまり、

l を求めるためには、a をそのまま使えばよく、

k a b c d
         
  l(=a)      

  から、mを求めるには、求めたmに対してkをかけて、bを足せばよいのです。

この操作が、2次の係数を書き込んで、縦に和算をする操作です。

k a b c d
    lk    
  l(=a) m(=b+lk)    

 

残りの部分も同様に埋められます。

 から、nを求めるにはmに対してkをかけて、cを足せばよいのです。

k a b c d
    lk mk  
  l(=a) m(=b+lk) n(=c+mk)  

 

残りのRも同様です。

 から、Rを求めるには、nkをかけてdを足します。

k a b c d
    lk mk nk
  l(=a) m(=b+lk) n(=c+mk) R(=d+nk)

 

以上のような手順から、1次式で割ったときの商と余りを求めることができます。

この手順を覚えやすいように工夫した書き方が、組立除法なのです。

 



3.組立除法の応用①:剰余の定理と因数定理

組立除法は、高次方程式の解を求める際によく利用します。

高次方程式の解を求めるためには、因数定理を使います。
剰余の定理と因数定理について説明しておきましょう。

※剰余の定理についての記事はこちら

※因数定理についての記事はこちら

 

剰余の定理とは以下のようなものです。

整式 P(x) を x-a で割ったときの余りは P(a) である。

先の例で言えば、P(x)=2x3-4x2+5 を x-3 で割ったときの余りは 23 でした。
この余り(=23)は、P(x) に x=3 を代入すれば求めることができる、というのが剰余の定理で

P(3)=2×33-4×32+5
=54-36+5
=23

となり、確かに一致します。

【証明】

整式 P(x) を x-k で割ったときの商を Q(x)、余りを R とおくと、
P(x)=(x-k)Q(x)+R
が成立します。
この式に x=k を代入すると、
P(k)=(k-k)Q(k)+R
=R
となり、商 Q(x) の値がよくわからなくても、余りだけを求めることができます。
すなわち、P(x) を x-k で割ったときの余りは P(k) であることがわかります。

 

より一般的に言えば、以下の定理が成り立ちます。

整式 P(x) を ax+b で割ったときの余りは

組み立て除法 計算式

である。

この剰余の定理の特殊な場合として、因数定理があります。
因数定理とは以下のような定理です。

x-a が整式 P(x) の因数である  ⇔  P(a)=0

剰余の定理から、整式 P(x) を x-a で割った余りは P(a) です。
もしも P(a)=0 なら、P(x) は x-a で割り切れることになります。
つまり、x-a が整式 P(x) の因数であることがわかります。

このとき

P(x)=(x-a)Q(x)

のように因数分解できます。
高次方程式の解を求める際にはこの因数定理をよく利用します。

 



4.組立除法の応用②:高次方程式の解き方

因数定理を用いて高次方程式の解を求めましょう。

  • 例題

x4-4x3+16x-16=0 の解を求めよ。

  • 解答・解説

P(x)=x4-4x3+16x-16

考えるのは、「x にどんな数字を代入すれば、x4-4x3+16x-16=0 になるか」ということです。

この問題の場合、

P(2)=24-4×23+16×2-16
=0

となります。この2という数字は、カンで探すしかありません。
一応の指針はあります(後述します)が、それで見つけられるとは限りません。
問題で出題される場合は、簡単な有理数で見つけられることがほとんどですので、安心してください。

P(2)=0ですので、P(x) は x-2 で割り切ることができます。
ここで組み立て除法を使います。

2 1 4 0 16 16
           
           

2 1 4 0 16 16
  2 -4 -8 16
  1 -2 -4 8 0

余りが0になりました。
ここで、余りが0にならなければ、計算ミスをしていることになります。
組み立て除法から、商が

Q(x)=x3-2x2-4x+8

となることがわかりますので、P(x) は以下のように因数分解できます。

P(x)=(x-2)(x3-2x2-4x+8)

Q(x) にもう一度、因数定理を適用して
Q(-2)=0
となりますので、Q(x) は x+2 で割り切ることができます。

 

2 1 2 4 8
  -2 8 -8
  1 -4 4 0

よって以下のように因数分解できます。

P(x)=(x-2)(x+2)(x2-4x+4)

ここからは、普通に因数分解できますよね

P(x)=(x-2)(x+2)(x-2)(x-2)
=(x-2)3 (x+2)

ですので、P(x)=0 の解は、x=2,-2 です。

 



5.組立除法の応用③:因数定理を利用した解の見つけ方

因数定理を利用する際に、当てはめる数をどのように見つければよいでしょう。
最終的には勘ですが、一応の指針はあります。

例えば P(x)=(2x-3)(x2+2x+2) を展開することを考えましょう。

もちろん P(x)=2x3+x2-2x-6 のように展開できます。

P(x) の因数に 2x-3 がありますので、

組み立て除法 計算式 となります。

この 3/2 をどうやって見つけるかが課題になります。

展開した後の、最高次数の係数と、定数項の係数について注目しましょう。

最高次数の項 2x3 は、2x と x2 をかけてできたような項です。
また、定数項 -6 は、-3 と 2 をかけてできたような項です。
つまり、因数定理で見つけるべき (2x-3) の係数は、最高次数約数と定数項の約数に表れていると言えます。

ですので、因数定理において当てはめるべき数は
組み立て除法 因数定理 定理
が目安です。

P(x)=2x3+x2-2x-6

なら
組み立て除法 因数定理 
です。
よって、考えられる解は計算式 解, ±1, 計算式 解,±3の8個に絞られ、実際に代入してみると

組み立て除法 計算式

となるので、

組み立て除法 計算式

と、因数分解できます。
ちなみに、Q(x)=x2+2x+2であり、これ以上因数分解できません。

 



6.おわりに

最後までご覧くださってありがとうございました。

この記事では、組み立て除法の基本と、高次方程式の解き方についてまとめました。
組み立て除法は高次方程式の解を求める際に、やり方を知っていると時間の短縮になります。
面倒な整式同士の割り算をしなくても、商と余りを求められますので、非常に便利です。

慣れると10秒程度しかかかりません。しっかりとマスターしましょう。


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この記事の執筆者

ニックネーム:受験のミカタ編集部

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