組立除法のやり方と高次方程式の解き方を解説！

数Ⅱ

数学 2024.2.1

組立除法は整式を1次式で割ったときの商と余りを求めるのに便利な方法です。

数学Ⅱで学習する高次方程式の分野で、剰余の定理や因数定理について習いますが、整式を整式で割るような計算がでてきます。

特に因数定理を使った後には、元の整式を因数分解するために、1次式で割ることが多いです。

普通に整式の割り算で計算しても良いですが、組立除法を使うと簡単に計算できます。

手間を省いて効率よく計算できます。
この記事では、組立除法についてまとめます。

【目次】

１．組立除法：計算方法

2x³-4x²+5 を x-3 で割ることを考えます。

突然ですが、組立除法による計算方法を紹介します。
なぜ、そのようなことができるかは、後に詳述しますので、確認してください。

左上に x-3 の3の部分を、その横に割られる整式の係数のみを順番に書き込んでゆきます。
このとき、左上が -3 でなく、3であることに注意しましょう。

また、係数を書き込む際に、抜けている次数の係数を抜かさないようにします。
2x³-4x²+5 なら 2x³-4x²+0x+5 と考えて、2, －4, 0, 5 を順番に書きます。

3	2	－4	0	5

最高次数の係数をそのまま下に降ろして、書き込みます。

3	2	－4	0	5

	2

左上の数字（＝3）と降ろした数字（2）の積を2次の次数の係数の下に書き込みます。

3	2	－4	0	5
		6
	2

2次の次数の数を縦に足します。

3	2	－4	0	5
		6
	2	2

2次の次数を足した結果（=2）と左上の数字（＝3）をかけて次の次数に書き込む

3	2	－4	0	5
		6	6
	2	2

以上を繰り返して最後まで数字を求める。

3	2	－4	0	5
		6	6	18
	2	2	6	23

表のすべてが埋まりました。
こうして求めた数字は、以下のような意味があります。

一番下の行の一番右に表れた数（=23）が、2x³-4x²+5 を x-3 で割った余りを表す。
一番下の行の余り以外の数字（＝2, 2, 6）が、2x³-4x²+5を x-3 で割った商の係数を表す。

つまり、2x³-4x²+5 を x-3 で割ると、商は 2x²+2x+6 であり、余りは23となります。
3次式を1次式で割っているので、商が2次式、余りが定数になります。

2x³-4x²+5 =(x-3)(2x²+2x+6 )+23

が成立することにも注目しておきましょう。

以上が組立除法のやり方です。

２．組立除法の証明：3次式のとき

なぜ組立除法を使って、商と余りを求めることができるのかについて説明します。

3次方程式

P(x)=ax³+bx²+cx+d

を、

x-k

で割ることを考えます。

このときの商をlx²+mx+n、余りをRとおきます。

考えるのは元の整式 P(x) の係数である、a,b,c,d と、割る整式 x-k の定数部分 k から、商と余りの情報 l,m,n,R を求められるか、ということです。

P(x)=ax³+bx²+cx+d を x-k で割った商がlx²+mx+n、余りが R ですので、以下の式が成立します。

ax³+bx²+cx+d=(lx²+mx+n)(x-k)+R

右辺を展開して整理すると

ax³+bx²+cx+d=lx³+(m-lk) x²+(n-mk)x+R-nk

となります。
これが恒等式になっていますので、両辺の係数を比較して

a=l
b=m-lk
c=n-mk
d=R-nk

となります。a,b,c,d,k から l,m,n,R を求めることが目的ですので、式を以下のように整理しましょう。

l=a
m=b+lk
n=c+mk
R=d+nk

ここから、組立除法の方法で係数と余りが求められることがわかります。
つまり、

l を求めるためには、a をそのまま使えばよく、

k	a	b	c	d

	l(=a)

から、mを求めるには、求めたmに対してkをかけて、bを足せばよいのです。

この操作が、2次の係数を書き込んで、縦に和算をする操作です。

k	a	b	c	d
		lk
	l(=a)	m(=b+lk)

残りの部分も同様に埋められます。

から、nを求めるにはmに対してkをかけて、cを足せばよいのです。

k	a	b	c	d
		lk	mk
	l(=a)	m(=b+lk)	n(=c+mk)

残りのRも同様です。

から、Rを求めるには、nにkをかけてdを足します。

k	a	b	c	d
		lk	mk	nk
	l(=a)	m(=b+lk)	n(=c+mk)	R(=d+nk)

以上のような手順から、1次式で割ったときの商と余りを求めることができます。

この手順を覚えやすいように工夫した書き方が、組立除法なのです。

３．組立除法の応用①：剰余の定理と因数定理

組立除法は、高次方程式の解を求める際によく利用します。

高次方程式の解を求めるためには、因数定理を使います。
剰余の定理と因数定理について説明しておきましょう。

※剰余の定理についての記事はこちら

※因数定理についての記事はこちら

剰余の定理とは以下のようなものです。

整式 P(x) を x-a で割ったときの余りは P(a) である。

先の例で言えば、P(x)=2x³-4x²+5 を x-3 で割ったときの余りは 23 でした。
この余り（＝23）は、P(x) に x=3 を代入すれば求めることができる、というのが剰余の定理で

P(3)=2×3³-4×3²+5
=54-36+5
=23

となり、確かに一致します。

【証明】

整式 P(x) を x-k で割ったときの商を Q(x)、余りを R とおくと、
P(x)=(x-k)Q(x)+R
が成立します。
この式に x=k を代入すると、
P(k)=(k-k)Q(k)+R
＝R
となり、商 Q(x) の値がよくわからなくても、余りだけを求めることができます。
すなわち、P(x) を x-k で割ったときの余りは P(k) であることがわかります。

より一般的に言えば、以下の定理が成り立ちます。

整式 P(x) を ax+b で割ったときの余りは