【微分頻出問題5選】教科書に載っていない微分解き方

数学 2015.10.29

微分は入試では必ずと言っていいほど出題される分野です。

しかし、普通の微分の計算問題や基礎問題なら解けるけど、 入試のような応用・実践的な問題となると解けないという人は多いと思います。

今回は、そのような人たち向けに、よく出題される微分の実践的な問題5つをPICK UPしました。(これらの問題の解法パターンをマスターするだけでも、かなり実践力が付くと思います)

また、教科書では一般に載っていないけど、知っているとかなり便利な知識もたくさん掲載しています。

ぜひこの機会で、応用力・実践力を付けていってください。

 

1.グラフの対称と極値に関する問題

問題2

 

重要修正3

[ポイント]

「重要」でも示した極大・極小と対称の関係は一般には教科書には載っていません。今回の問題においても知っているだけで、解くスピードが格段に変わってきますので、是非覚えましょう。

 

[参考]

「極大値・極小値ってなんだっけ?」と思った方・増減に関してあやふやな方は、以下のリンクを参考にしてみてください。

「数学が苦手な文系学生にも分かり易い!増減表、極大・極小(極値)まとめ」

 

2.極値の有無に関する問題

実践問題4

回答4修正

[ポイント]

極値は、増減表を書く際に必要なだけでなく、このように極値の有無を問う問題も出題されます。類似問題が出たら必ず落とさないようにしましょう!

3.センター試験頻出:共通接線の問題

この問題を教科書で習ったことだけでももちろん解くことは可能です。

しかし、今回は入試を考えた実践ということで教科書よりもスムーズに解きましょう

 

問題修正

共通接線解答修正2

[ポイント]

y=f(x)の点{a,f(a)}における接線の方程式y-f(a)=f'(a)(x-a)を知らないといけません。そして、接するということは2つの方程式が重解を持つという考え方が出来なくてはいけません。王道な解き方なので、是非解けるようにしておいてください。

[参考]

接線の方程式やその解き方についてまとめた記事があるので、是非参考にしてください。

「文系学生にもやさしくて分かり易い!接線の方程式の求め方」

 

4.重解を利用した接線に関する問題

実践問題

 

名称未設定-9

[ポイント]

接線の問題では、接点のx座標を自分で設定して(今回であればpとおいた。)

その後は問題文の条件から立式していくというのが定石です。

また、問題文に、「ただ一つ」や「一個だけ」というキーワードがあれば、重解を疑いましょう。

 

5.微分を利用した商と余りに関する問題

実践問題3

この問題は微分のある特質を知っているか知らないかで大分解く時間が変わってきます。

実践問題3修正

[※1]

余りの次数は、割る数よりも必ず低くなります。(今回は、割る数(x-3)2の次数は2なので、余りの次数は2よりも小さい。つまり、ax+bとおくことができます。)

これは例えば、〇÷5=△余り7 みたいには決してならないのと同じです。余りが割る数よりも大きいと、まだ割れるということですね。

[※2]

y=f(x)・g(x)とすると、

y´=f´(x)・g(x)+f(x)g´(x) でした。

[ポイント]

商や余りに関する問題では、問題文で与えられた数字や文字を使って、

○=(割る数)×(商)+(余り)

の形で表して解いていくのが基本です。

[ポイント]

今回の「重要」でも示した極値の有無に関する事柄は必ず覚えておいてください。

 

今回はこれで以上です。

教科書には載っていないけど、知っていると便利な事柄はいくつかありましたね。

この機会にぜひ覚えましょう。


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この記事の執筆者

ニックネーム:やっすん

早稲田大学商学部4年
大阪府出身
好きなこと:カラオケ、テニス
得意科目:数学
最近ハマっていること:炎天下のランニング

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