三角形の外心: 定義と性質を証明問題で解説!

数学 2018.12.18
三角形の外心: 定義と性質を証明問題で解説!

三角形の外心は、性質などが試験などでよく問われます。

外心に関する問題はパターンが決まっているので難しくありません。ですが、一度やっておかないとわからないと思います。

今回は、性質や証明、例題を解いて外心の知識を深めましょう。

    1.三角形の外心とは?

    三角形の外心は、三角形ABCに外接する円の中心です。

    「外」心円の中「心」ですから、外心です。

    三角形の外心で、押さえておくべきなのは以下の点です。

    ① 三角形ABCの外心とは、三角形ABCの外接円の中心Oである(定義)

    ② 外心は三角形の3本の「垂直二等分線」の交点である

    三角形 外心 解説図

     

      2.三角形の外心:証明

      次の命題を証明します。

      命題:三角形ABCの3辺の垂直二等分線の交点は一点で交わる(この点が外心です)

      三角形 外心 解説図

      • 証明

      証明の前に外心の定義からわかることを考えておきましょう。

      外接円は三角形の頂点をすべて通るような円です。

      円の性質は、ある点から等しい距離にある点の集まりです。

      ですから、外接円の中心すなわち外心とは、三角形の3つの頂点から等しい距離にある点なのです。

      三角形 外心 証明

      一方で垂直二等分線とは、ある2点から等しい距離にある点の集まりです。

       

      三角形ABCの2辺AB、ACの垂直二等分線の交点をOとおくと、OA=OB、OA=OCからOB=OCとなります。(つまりOA=OB=OCです。)

      三角形 外心 証明

      よって三角形OBCは二等辺三角形です。

      OB=OCとなる二等辺三角形の頂点OからBCに下した垂線の足Lは辺BCの中点となりますので、OLは辺BCの垂直二等分線となりますから、命題が示されました。

      三角形 外心 証明

       

      3.三角形の外心の例題

      問題:以下の図形の点Oが三角形ABCの外心であるときaの角度を求めよ。

      問題1:
      三角形 外心 例題問題2:三角形 外心 例題

      • 解説:問題1

      点Oは△ABCの外心よりAO=BO=COです。

      三角形 外心 例題

      △OABに注目したときAO=BOより二等辺三角形なので∠OAB=∠OBAです。

      三角形 外心 例題

      同様に、△OBC、△OCAも二等辺三角形なので∠OBC=∠OCB、∠OCA=∠OACです。

      これより、

      ∠OAB=∠OBA=28°

      ∠OAC=∠BAC-∠OAB=54°-28°=26°=∠OCA

      ∠OBC=∠OCB= a

      となります。

      あとは、三角形の内角の和が180°であることから

      ∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB+∠OCA+∠OAC=180°

      ⇔28°+28°+ a + a +26°+26°=108°+ 2a =180°

      ∴a=36°

      三角形 外心 例題

       

      • 解説:問題2(回答1)

      点Oが外心なのでOA=OB=OCとなり、△OAB、△OCAは二等辺三角形となります。

      これより、

      ∠OAB=∠OBA= a

      ∠OCA=∠OAC=40°

      となります。

      三角形 外心 例題

      問題1と同様に内角の和が180°であることから計算してa=50°となります。

       

      • 解説:問題2(回答1)

      円の中心を通る三角形の円周角は90°であることが一般的に知られています。

      三角形 外心 例題

      また、この知識は受験で用いても問題ありません。

      これを用いると∠BAC=90°となり、∠BAC=∠OAB+∠OAC= a +40°=90°

      よって a =50°になります。

       

        4.三角形の外心: おわりに

        最後までご覧下さってありがとうございました。

        この記事では、三角形の外心についてまとめました。

        外心では、外接円という円を扱います。
        つまり、円の性質も合わせて知っておく必要があるということです。

        また三角形と円が絡む話題として、他に外心と内心があります。併せて確認しておいてください!

        ※三角形の内心: 定義と性質を証明問題形式で解説!

        ※三角形の重心: 定義と性質を証明問題と座標を用いる例題で解説!

        円の性質もしっかり復習しておきましょう!

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        この記事の執筆者

        ニックネーム:受験のミカタ編集部

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