三角形の外心: 定義と性質を証明問題で解説！

三角形の外心は、性質などが試験などでよく問われます。

外心に関する問題はパターンが決まっているので難しくありません。ですが、一度やっておかないとわからないと思います。

今回は、性質や証明、例題を解いて外心の知識を深めましょう。

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１．三角形の外心とは？

三角形の外心は、三角形ABCに外接する円の中心です。

「外」心円の中「心」ですから、外心です。

三角形の外心で、押さえておくべきなのは以下の点です。

 

２．三角形の外心：証明

次の命題を証明します。

• 証明

証明の前に外心の定義からわかることを考えておきましょう。

外接円は三角形の頂点をすべて通るような円です。

円の性質は、ある点から等しい距離にある点の集まりです。

ですから、外接円の中心すなわち外心とは、三角形の3つの頂点から等しい距離にある点なのです。

一方で垂直二等分線とは、ある2点から等しい距離にある点の集まりです。

 

三角形ABCの2辺AB、ACの垂直二等分線の交点をOとおくと、OA＝OB、OA＝OCからOB＝OCとなります。（つまりOA=OB=OCです。）

よって三角形OBCは二等辺三角形です。

OB＝OCとなる二等辺三角形の頂点OからBCに下した垂線の足Lは辺BCの中点となりますので、OLは辺BCの垂直二等分線となりますから、命題が示されました。

 

３．三角形の外心の例題

問題１：
問題２：

• 解説：問題１

点Oは△ABCの外心よりAO=BO=COです。

△OABに注目したときAO=BOより二等辺三角形なので∠OAB＝∠OBAです。

同様に、△OBC、△OCAも二等辺三角形なので∠OBC＝∠OCB、∠OCA＝∠OACです。

これより、

∠OAB＝∠OBA＝28°

∠OAC＝∠BAC－∠OAB＝54°－28°=26°=∠OCA

∠OBC＝∠OCB＝ a

となります。

あとは、三角形の内角の和が180°であることから

∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB+∠OCA+∠OAC=180°

⇔28°+28°+ a + a +26°+26°＝108°+ 2a =180°

∴a=36°

 

• 解説：問題２（回答1）

点Oが外心なのでOA＝OB＝OCとなり、△OAB、△OCAは二等辺三角形となります。

これより、

∠OAB＝∠OBA＝ a

∠OCA＝∠OAC＝40°

となります。

問題１と同様に内角の和が180°であることから計算してa=50°となります。

 

• 解説：問題２（回答1）

円の中心を通る三角形の円周角は90°であることが一般的に知られています。

また、この知識は受験で用いても問題ありません。

これを用いると∠BAC＝90°となり、∠BAC＝∠OAB+∠OAC＝ a +40°=90°

よって a =50°になります。

 

４．三角形の外心: おわりに

最後までご覧下さってありがとうございました。

この記事では、三角形の外心についてまとめました。

外心では、外接円という円を扱います。
つまり、円の性質も合わせて知っておく必要があるということです。

また三角形と円が絡む話題として、他に外心と内心があります。併せて確認しておいてください！

※三角形の内心: 定義と性質を証明問題形式で解説！

※三角形の重心: 定義と性質を証明問題と座標を用いる例題で解説！

円の性質もしっかり復習しておきましょう！

この記事の執筆者

ニックネーム：受験のミカタ編集部

「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している「受験応援メディア」です。