三角形の外心: 定義と性質を証明問題で解説!

数学 2018.12.18

三角形の外心は、性質などが試験などでよく問われます。

外心に関する問題はパターンが決まっているので難しくありません。ですが、一度やっておかないとわからないと思います。

今回は、性質や証明、例題を解いて外心の知識を深めましょう。

1.三角形の外心とは?

三角形の外心は、三角形ABCに外接する円の中心です。

「外」心円の中「心」ですから、外心です。

三角形の外心で、押さえておくべきなのは以下の点です。

① 三角形ABCの外心とは、三角形ABCの外接円の中心Oである(定義)

② 外心は三角形の3本の「垂直二等分線」の交点である

三角形 外心 解説図

 

2.三角形の外心:証明

次の命題を証明します。

命題:三角形ABCの3辺の垂直二等分線の交点は一点で交わる(この点が外心です)

三角形 外心 解説図

  • 証明

証明の前に外心の定義からわかることを考えておきましょう。

外接円は三角形の頂点をすべて通るような円です。

円の性質は、ある点から等しい距離にある点の集まりです。

ですから、外接円の中心すなわち外心とは、三角形の3つの頂点から等しい距離にある点なのです。

三角形 外心 証明

一方で垂直二等分線とは、ある2点から等しい距離にある点の集まりです。

 

三角形ABCの2辺AB、ACの垂直二等分線の交点をOとおくと、OA=OB、OA=OCからOB=OCとなります。(つまりOA=OB=OCです。)

三角形 外心 証明

よって三角形OBCは二等辺三角形です。

OB=OCとなる二等辺三角形の頂点OからBCに下した垂線の足Lは辺BCの中点となりますので、OLは辺BCの垂直二等分線となりますから、命題が示されました。

三角形 外心 証明

 

3.三角形の外心の例題

問題:以下の図形の点Oが三角形ABCの外心であるときaの角度を求めよ。

問題1:
三角形 外心 例題問題2:三角形 外心 例題

  • 解説:問題1

点Oは△ABCの外心よりAO=BO=COです。

三角形 外心 例題

△OABに注目したときAO=BOより二等辺三角形なので∠OAB=∠OBAです。

三角形 外心 例題

同様に、△OBC、△OCAも二等辺三角形なので∠OBC=∠OCB、∠OCA=∠OACです。

これより、

∠OAB=∠OBA=28°

∠OAC=∠BAC-∠OAB=54°-28°=26°=∠OCA

∠OBC=∠OCB= a

となります。

あとは、三角形の内角の和が180°であることから

∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB+∠OCA+∠OAC=180°

⇔28°+28°+ a + a +26°+26°=108°+ 2a =180°

∴a=36°

三角形 外心 例題

 

  • 解説:問題2(回答1)

点Oが外心なのでOA=OB=OCとなり、△OAB、△OCAは二等辺三角形となります。

これより、

∠OAB=∠OBA= a

∠OCA=∠OAC=40°

となります。

三角形 外心 例題

問題1と同様に内角の和が180°であることから計算してa=50°となります。

 

  • 解説:問題2(回答1)

円の中心を通る三角形の円周角は90°であることが一般的に知られています。

三角形 外心 例題

また、この知識は受験で用いても問題ありません。

これを用いると∠BAC=90°となり、∠BAC=∠OAB+∠OAC= a +40°=90°

よって a =50°になります。

 

4.三角形の外心: おわりに

最後までご覧下さってありがとうございました。

この記事では、三角形の外心についてまとめました。

外心では、外接円という円を扱います。
つまり、円の性質も合わせて知っておく必要があるということです。

また三角形と円が絡む話題として、他に外心と内心があります。併せて確認しておいてください!

※三角形の内心: 定義と性質を証明問題形式で解説!

※三角形の重心: 定義と性質を証明問題と座標を用いる例題で解説!

円の性質もしっかり復習しておきましょう!


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この記事の執筆者

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