三角形の外接円の半径の求め方！公式（正弦定理）を解説

「外接円と内接円ってどんな違いがあるの？」「図形問題は苦手…」と思っている方も多いのではないでしょうか。

外接円に関する問題は、公式である正弦定理を使うことで簡単に解くことができます。そのため、公式をしっかり覚えて問題に取り組むことが大切です。

本記事では、スマートフォンでも見やすい図を使って外接円の半径の求め方を解説しています。最後には、練習問題も用意しておりますので、外接円の半径の求め方をマスターしてください！

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外接円とは｜全ての頂点を通る円

まずは外接円とは何か？について解説します。

三角形の外接円とは、三角形の外にあり、全ての頂点を通る円のことです。

三角形の各辺の垂直二等分線の交点が外接円の中心となります。

内接円とは｜全ての辺と接する円

よくある疑問として、「外接円と内接円の違い」がありますので、解説しておきます。

三角形の内接円とは、三角形の中にあり、全ての辺と接する円のことです。

三角形の角の二等分線の交点が内接円の中心となります。

※内接円を詳しく学習したい人は、「▶︎内接円の半径の求め方！楽に求める時間の節約術とは？ 数Ⅰ」をご覧ください。

外接円の半径を求める公式は「正弦定理」

では、外接円の半径を求める方法を解説します。

みなさん、正弦定理は覚えていますか？外接円の半径を求めるには、正弦定理を使用します。

※正弦定理があまり理解できていない人は、「▶５分で分かる！正弦定理の公式と覚え方・解き方とは？練習問題でマスターしよう！」をご覧ください。

三角形の３つの角の大きさがA、B、Cで、それらの角の対辺の長さがa、b、c、外接円の半径をRとすると、

a/sinA ＝ b/sinB ＝ c/sinC ＝ 2R

という公式が成り立ちました。

外接円の半径は正弦定理を使って求めることができたのですね。

したがって、三角形の角の大きさと、その角の対辺の長さがわかれば外接円の半径は求められます。

例題で実際に外接円の半径を求めてみよう

では、以上の外接円の求め方（正弦定理）を踏まえて、実際に外接円の半径を求めてみましょう！

例題

下図のように、３辺が３、５、６の三角形ABCの外接円の半径Rを求めよ。

解答＆解説

まずは三角形のどれかの角の大きさを求めなければいけません。

３辺から１つの角の大きさを求めるには、余弦定理を使えばよいのでした。

※余弦定理を忘れてしまった人は、「▶５分で分かる！正弦定理の公式と覚え方・解き方とは？練習問題でマスターしよう！」をご覧ください。

余弦定理より、

なので、

Aは三角形の角なので　0°<A<180°です。

よって、sinA>0より、

正弦定理より、

となるので、求める外接円の半径Rは、
(45√14)/56・・・（答）
となります。

いかがですか？

外接円の半径を求めるにあたっては、１つの角の大きさとその対辺の長さが必要です。３辺の長さがわかっていて、角の大きさがわかっていないときは、まずは余弦定理を使って角の大きさを求めることを頭にいれておきましょう！

外接円の半径を求める練習問題

最後に、外接円の半径を求める練習問題を１つ用意しました。

ぜひ解いてみてください。

練習問題

AB＝2√2、AC＝3、∠A＝45°の三角形ABCにおける外接円の半径Rを求めよ。

解答＆解説

まずは三角形ABCの図を書いてみましょう。下のようになりますね。

∠Aがわかってるので、BCの長さが求まれば外接円の半径が求められますね。

余弦定理より

※２辺とその間の角から残りの辺の長さを求めるときにも余弦定理が使えました。忘れてしまった人は、▶余弦定理について解説した記事をご覧ください。

BC＞0より、

BC＝√5 となります。

これでようやく外接円の半径を求める条件が整いました。

正弦定理より

※sin45°=1/√2ですね。

よって、

R=√10 /2 ・・・（答）

となります。

まとめ

いかがでしたか？

外接円とは何か・外接円の半径の求め方の解説は以上になります。「外接円の半径は、正弦定理で求めることができる」ということを必ず忘れないようにしておきましょう！