2点間の距離の公式を証明と例題でわかりやすく解説！立体の場合の計算方法も

数学分野における、２点間の距離の公式について、スマホでもみやすいイラストで現役の慶応生が解説します。

本記事を読めば、数学が苦手な生徒でも、２点間の距離の公式が理解できるように丁寧に解説しています。

２次元（平面）・３次元（立体）の両方における２点間の距離について解説している充実の内容です。

また、２点間の距離を求める例題（解答＆解説付き）も用意しているので、ぜひ解いてみてください！

 

１：２点間の距離の公式（２次元）

まずは２次元（平面）における２点間の距離の公式から解説していきます。

下の図のように、点A(a, b)と点B(c, d)があるとします。

この時、点ABの２点間の距離は、

√(a-c)²+(b-d)²

で求めることができます。

特に、原点(0,0)と点A(a,b)の２点間の距離は

√a²+b²

となります。

以上が２次元（平面）における２点間の距離の公式です。

 

２：２点間の距離の公式の証明（２次元）

本章では、２点間の距離の公式（２次元）が成り立つ証明を解説します。

下の図のように、A(a, b)とB(c, d)とは別に、C(c,b)を取って角Cが90°の三角形ABCを作ってみます。

ここで、三平方の定理を使います。

※三平方の定理を忘れてしまった人は、三平方の定理について詳しく解説した記事をご覧ください。

すると、

AB²=AC²+BC²

が成り立ちますね。

AB>0より

AB=√AC²+BC²

なので、

AB=√(a-c)²+(b-d)²

となり、２点間の距離の公式（２次元）が証明できました！

 

３：２点間の距離を求める例題（２次元）

では、実際に２点間の距離を求める例題を解いてみましょう！

例題

点P(1,3)と点Q(-2,-1)の２点間の距離を求めよ。

解答＆解説

２点間の距離の公式より、

PQ²

=(-2-1)²+(-1-3)²

=9+16

=25

PQ>0より

PQ=5・・・（答）

となります！

 

４：２点間の距離の公式（３次元）

次に、３次元（立体）における２点間の距離の公式について解説します。

下の図のように、点A(a, b, c)と点B(d, e, f)があるとします。

この時、点ABの２点間の距離は、

√(a-d)²+(b-e)²+(c-f)²

で求めることができます。

特に、原点(0,0)と点A(a, b, c)の２点間の距離は

√a²+b²+c²

となります。

以上が３次元（立体）における２点間の距離の公式です。

 

５：２点間の距離の公式の証明（３次元）

３次元（立体）における２点間の距離の公式の証明も行っておきましょう。

証明の流れとしては、２次元（平面）の２点間の距離の公式を２回使っていきます。

下の図のように、点A(a, b, c)と点B(d, e, f)とは別に点C(a, e, f)を取ります。

角Cが直角の三角形ABCに注目して、三平方の定理を使いましょう！

※三平方の定理を忘れてしまった人は、三平方の定理について詳しく解説した記事をご覧ください。

AB²=AC²+BC²

より、

AB²= (b-e)²+(c-f)²+(a-d)²

AB>0より

AB=√(a-d)²+(b-e)²+(c-f)²

となり、３次元（立体）における２点間の距離の公式が証明できました！

 

６：２点間の距離を求める例題（３次元）

では、実際に３次元（立体）における２点間の距離を求める例題を解いてみましょう！

例題

点P(2, 3, 4)と点Q(4, 1, 5)の２点間の距離を求めよ。

解答＆解説

２点間の距離の公式より、

PQ²

=(2-4)²+(3-1)²+(4-5)²

=4+4+1

=9

PQ>0より

PQ=3・・・（答）

となりますね。

 

いかがでしたか？

２次元（平面）と３次元（立体）における２点間の距離の公式が理解できましたか？

２点間の距離の公式は、そこまで覚えにくくはないはずです。

数学の分野でも重要な公式の１つなので、必ず覚えておいてください！

この記事の執筆者

ニックネーム：やっすん

早稲田大学商学部4年
得意科目：数学