2点間の距離の公式を証明と例題でわかりやすく解説!立体の場合の計算方法も

数学 2017.1.20

数学分野における、2点間の距離の公式について、スマホでもみやすいイラストで現役の慶応生が解説します。

本記事を読めば、数学が苦手な生徒でも、2点間の距離の公式が理解できるように丁寧に解説しています。

2次元(平面)・3次元(立体)の両方における2点間の距離について解説している充実の内容です。

また、2点間の距離を求める例題(解答&解説付き)も用意しているので、ぜひ解いてみてください!

 

1:2点間の距離の公式(2次元)

まずは2次元(平面)における2点間の距離の公式から解説していきます。

下の図のように、点A(a, b)と点B(c, d)があるとします。

点A(a, b)と点B(c, d)

この時、点ABの2点間の距離は、

√(a-c)²+(b-d)²

で求めることができます。

2点間の距離の公式

特に、原点(0,0)と点A(a,b)の2点間の距離は

√a²+b²

となります。

以上が2次元(平面)における2点間の距離の公式です。

 

2:2点間の距離の公式の証明(2次元)

本章では、2点間の距離の公式(2次元)が成り立つ証明を解説します。

下の図のように、A(a, b)とB(c, d)とは別に、C(c,b)を取って角Cが90°の三角形ABCを作ってみます。

角Cが90°の三角形ABC

ここで、三平方の定理を使います。

※三平方の定理を忘れてしまった人は、三平方の定理について詳しく解説した記事をご覧ください。

すると、

AB²=AC²+BC²

が成り立ちますね。

AB>0より

AB=√AC²+BC²

なので、

AB=√(a-c)²+(b-d)²

となり、2点間の距離の公式(2次元)が証明できました!

 

3:2点間の距離を求める例題(2次元)

2点間の距離のイメージ

では、実際に2点間の距離を求める例題を解いてみましょう!

例題

点P(1,3)と点Q(-2,-1)の2点間の距離を求めよ。

解答&解説

2点間の距離の公式より、

PQ²

=(-2-1)²+(-1-3)²

=9+16

=25

PQ>0より

PQ=5・・・(答)

となります!

 

4:2点間の距離の公式(3次元)

次に、3次元(立体)における2点間の距離の公式について解説します。

下の図のように、点A(a, b, c)と点B(d, e, f)があるとします。

点A(a, b, c)と点B(d, e, f)

この時、点ABの2点間の距離は、

√(a-d)²+(b-e)²+(c-f)²

で求めることができます。

2点間の距離の公式

特に、原点(0,0)と点A(a, b, c)の2点間の距離は

√a²+b²+c²

となります。

以上が3次元(立体)における2点間の距離の公式です。

 

5:2点間の距離の公式の証明(3次元)

3次元(立体)における2点間の距離の公式の証明も行っておきましょう。

証明の流れとしては、2次元(平面)の2点間の距離の公式を2回使っていきます。

下の図のように、点A(a, b, c)と点B(d, e, f)とは別に点C(a, e, f)を取ります。

角Cが直角の三角形ABC

角Cが直角の三角形ABCに注目して、三平方の定理を使いましょう!

※三平方の定理を忘れてしまった人は、三平方の定理について詳しく解説した記事をご覧ください。

AB²=AC²+BC²

より、

AB²= (b-e)²+(c-f)²+(a-d)²

AB>0より

AB=√(a-d)²+(b-e)²+(c-f)²

となり、3次元(立体)における2点間の距離の公式が証明できました!

 

6:2点間の距離を求める例題(3次元)

2点間の距離のイメージ

では、実際に3次元(立体)における2点間の距離を求める例題を解いてみましょう!

例題

点P(2, 3, 4)と点Q(4, 1, 5)の2点間の距離を求めよ。

解答&解説

2点間の距離の公式より、

PQ²

=(2-4)²+(3-1)²+(4-5)²

=4+4+1

=9

PQ>0より

PQ=3・・・(答)

となりますね。

 

いかがでしたか?

2次元(平面)と3次元(立体)における2点間の距離の公式が理解できましたか?

2点間の距離の公式は、そこまで覚えにくくはないはずです。

数学の分野でも重要な公式の1つなので、必ず覚えておいてください!


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この記事の執筆者

ニックネーム:やっすん

早稲田大学商学部4年
大阪府出身
好きなこと:カラオケ、テニス
得意科目:数学
最近ハマっていること:炎天下のランニング

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