2点間の距離の公式を証明と例題でわかりやすく解説!立体の場合の計算方法も

数学 2017.1.20
2点間の距離の公式を証明と例題でわかりやすく解説!立体の場合の計算方法も

数学分野における、2点間の距離の公式について、スマホでもみやすいイラストで現役の慶応生が解説します。

本記事を読めば、数学が苦手な生徒でも、2点間の距離の公式が理解できるように丁寧に解説しています。

2次元(平面)・3次元(立体)の両方における2点間の距離について解説している充実の内容です。

また、2点間の距離を求める例題(解答&解説付き)も用意しているので、ぜひ解いてみてください!

 

    1:2点間の距離の公式(2次元)

    まずは2次元(平面)における2点間の距離の公式から解説していきます。

    下の図のように、点A(a, b)と点B(c, d)があるとします。

    点A(a, b)と点B(c, d)

    この時、点ABの2点間の距離は、

    √(a-c)²+(b-d)²

    で求めることができます。

    2点間の距離の公式

    特に、原点(0,0)と点A(a,b)の2点間の距離は

    √a²+b²

    となります。

    以上が2次元(平面)における2点間の距離の公式です。

     

      2:2点間の距離の公式の証明(2次元)

      本章では、2点間の距離の公式(2次元)が成り立つ証明を解説します。

      下の図のように、A(a, b)とB(c, d)とは別に、C(c,b)を取って角Cが90°の三角形ABCを作ってみます。

      角Cが90°の三角形ABC

      ここで、三平方の定理を使います。

      ※三平方の定理を忘れてしまった人は、三平方の定理について詳しく解説した記事をご覧ください。

      すると、

      AB²=AC²+BC²

      が成り立ちますね。

      AB>0より

      AB=√AC²+BC²

      なので、

      AB=√(a-c)²+(b-d)²

      となり、2点間の距離の公式(2次元)が証明できました!

       

      3:2点間の距離を求める例題(2次元)

      では、実際に2点間の距離を求める例題を解いてみましょう!

      例題

      点P(1,3)と点Q(-2,-1)の2点間の距離を求めよ。

      解答&解説

      2点間の距離の公式より、

      PQ²

      =(-2-1)²+(-1-3)²

      =9+16

      =25

      PQ>0より

      PQ=5・・・(答)

      となります!

       

        4:2点間の距離の公式(3次元)

        次に、3次元(立体)における2点間の距離の公式について解説します。

        下の図のように、点A(a, b, c)と点B(d, e, f)があるとします。

        点A(a, b, c)と点B(d, e, f)

        この時、点ABの2点間の距離は、

        √(a-d)²+(b-e)²+(c-f)²

        で求めることができます。

        2点間の距離の公式

        特に、原点(0,0)と点A(a, b, c)の2点間の距離は

        √a²+b²+c²

        となります。

        以上が3次元(立体)における2点間の距離の公式です。

         

          5:2点間の距離の公式の証明(3次元)

          3次元(立体)における2点間の距離の公式の証明も行っておきましょう。

          証明の流れとしては、2次元(平面)の2点間の距離の公式を2回使っていきます。

          下の図のように、点A(a, b, c)と点B(d, e, f)とは別に点C(a, e, f)を取ります。

          角Cが直角の三角形ABC

          角Cが直角の三角形ABCに注目して、三平方の定理を使いましょう!

          ※三平方の定理を忘れてしまった人は、三平方の定理について詳しく解説した記事をご覧ください。

          AB²=AC²+BC²

          より、

          AB²= (b-e)²+(c-f)²+(a-d)²

          AB>0より

          AB=√(a-d)²+(b-e)²+(c-f)²

          となり、3次元(立体)における2点間の距離の公式が証明できました!

           

            6:2点間の距離を求める例題(3次元)

            では、実際に3次元(立体)における2点間の距離を求める例題を解いてみましょう!

            例題

            点P(2, 3, 4)と点Q(4, 1, 5)の2点間の距離を求めよ。

            解答&解説

            2点間の距離の公式より、

            PQ²

            =(2-4)²+(3-1)²+(4-5)²

            =4+4+1

            =9

            PQ>0より

            PQ=3・・・(答)

            となりますね。

             

            いかがでしたか?

            2次元(平面)と3次元(立体)における2点間の距離の公式が理解できましたか?

            2点間の距離の公式は、そこまで覚えにくくはないはずです。

            数学の分野でも重要な公式の1つなので、必ず覚えておいてください!

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            この記事の執筆者

            ニックネーム:やっすん

            早稲田大学商学部4年
            得意科目:数学