対数とは?logって何?対数関数について基礎から解説!

数学 2019.6.20

数2で登場し、センター試験にも頻出の対数関数。

対数は、指数と違いなじみがなくて分かりにくいですよね。

対数を苦手とする人が多いのも事実です。

しかし対数関数は、センター試験や理系学部はもちろん早稲田大学政治経済学部慶應義塾大学経済学部などの文系学部でも毎年コンスタントに出題されています。

そこで、今回は、対数の定義、グラフ、大事な性質やそれらの性質を使った計算問題など、基礎から典型問題まで紹介します!

数学が苦手な方でも分かりやすいようにlogの定義から詳しく説明してありますので、是非読んでみてください!

なお、この記事では指数法則が頻繁にでてくるので、指数の計算が怪しい方は指数法則を解説したこちらの記事を先にチェックしてくださいね!



1. 対数とは?logって?定義や公式、計算法を伝授! 

 

1-1.対数とはそもそも何?

まずは対数の定義について確認しましょう!

対数とは、”aを何乗したらbになるか”を表す数として定義されていますが、いまいちピンと来ませんね。

簡単な例で考えてみましょう。

2を3乗すると8になり、3を4乗すると81になります。

ここでいう「3」や「4」といった「何乗しているかを表す数」を対数と言います。

1-2.対数の記号logについて徹底解説!

対数の概念は理解しづらいため、例を出しつつ解説していきます。

まず、aをX乗するとbとなると仮定しましょう(ax=b)。

先ほどの定義から、aをX乗したらbとなるためここでの対数はXとなります。

これを記号で表すとX=logabとなり、「aを底(てい)とするbの対数」と言います(logについている添え字のことを底、その右側の数字のことを真数と呼びます)。

対数関数1

つまり、正確に言うと2を底とする8の対数は3(2を3乗すると8)、2を底とする5の対数はlog25(2をlog25乗すると5)となりますね。

逆に考えると、2log25=5とも書くことができます(わかりにくいですが、定義からじっくり考えましょう)。

このように、logはどんな対数も表現できるすごい記号なんです!

こんな便利なlogですが使うときには注意が必要で、X=logabについて、底aは0<aかつa≠1を満たす必要があります

また、b>0も満たさなければなりません(真数条件と言います)。

この二つの条件は応用問題を解くときに欠かせない要素となってくるので、確実に覚えましょうね!

1-3.対数logの重要公式について

対数やlogにまつわる性質は重要なものが多く、それを一覧にしたものが以下の図です。

11個もあって覚えられない!と思う方もいるかもしれませんが、一つ一つ解説していくので安心してくださいね。

対数 性質

①logAAm=mについて

これは、(ア)底と真数が同じ値ならばその対数は1となる性質と、(イ)真数の指数はlogの前に出すことができる性質を利用したものです。

(ア)の例を挙げるとlog22=1となります。

どんな数を1乗しても値は変わりませんから当然ですね。

(イ)の例を挙げるとlog234=4log23となります。

真数に累乗がついていたら、それをlogの前に持ってこれるということですね!

②logAA=1

③logA1=0

log_A \frac{1}{A}=-1について

この三つの性質はそれぞれ、1乗するとそのまま、0乗すると1になる、-1乗すると分数になるという性質からきていますね。

⑤logAMN=logAM+logAN

log_A \frac{M}{N}=log_A M -log_A Nについて

この二つの性質は非常に重要です。

logの真数が掛け算で表されていたらそれぞれ足し算に分けることができ、真数が割り算で表されていたらそれぞれ引き算に直すことができます。

証明は省略しますが、対数の計算などで非常によく出てくるので確実に押さえましょう!

log_A \frac{1}{N}=-log_A Nについて

これは③,⑥を応用したもので、log_A \frac{1}{N}=log_A 1 -log_A N=-log_A Nからきています。

⑧logAMR=RlogAMについて

これは1で説明した、真数の累乗はlogの前に出せる性質を応用したものです。

log_A \sqrt[R]{M}=\frac{1}{R}log_A Mについて

これは\sqrt[R]{M}=M^\frac{1}{R}と表すことができることからきています。

log_A B=\frac{log_C B}{log_C A}

log_A B=\frac{1}{log_B A}について

これらは、底の変換公式という非常に重要な公式です。

こちらも証明は省略しますが、この二つの式を使うと自由に底を変換できるので、計算問題などで大活躍しますよ!

以上11個の公式について説明してきましたが、logの定義と①⑤⑥⑩を押さえておけばどの式も導けるようになるので、各自で使い方などを練習してみてくださいね!

1-4.対数logを使った計算方法

これまで対数の定義やlogの性質を学んできましたが、実際にlogが入った計算をしてみましょう!

logを含んだ計算の前提として、①:底と真数が等しいもの同士は足したり引いたりできること、②:底や真数が同じであってもlog同士の掛け算はできないことが挙げられます。

Ⅰについて:log25+log25=2log25は成立しますがlog25+log27=log212とはなりません

log25+log35=log55ともならないので注意してくださいね。

Ⅱについて:log25×4log25=4(log25)2と、同じ底、真数の対数同士を累乗でまとめることはできますが、log25×log37=log635などとはならないので注意が必要です。

言葉で言ってもわかりづらいと思うので、実際に計算しながら学んでみましょう!

(1)log210-log25

(2)log325×log59

(3)(log225+log45)×(log54+log516)

解答

(1)log210-log25

→これは上記性質の⑤を利用します。

log210-log25=log2(5×2)-log25=1+log25-log25=1…答え

(2)log325×log59=2log35×2log53

ここで利用するのが⑪の底の変換公式です。

log_A B=\frac {1}{log_B A}により、

log_5 3=\frac {1}{log_3 5}となります。

2log35×2log53=2log_3 5 \times \frac {2}{log_3 5}=4…答え

(3)(log225+log45)×(log54+log516)

これは左の()は底を2に、右の()は底を5に揃えれば計算しやすそうなので実行してみると、

(log_2 5^2 +\frac{log_2 5}{log_2 4}) \times (log_5 2^2 +log_5 2^4)=(2log_2 5 +\frac{log_2 5}{log_2 2^2}) \times (2log_5 2 +4log_5 2)=(2log_2 5 +\frac{log_2 5}{2}) \times 6log_5 2\frac{5}{2}log_2 5 \times 6\frac{1}{log_2 5} = 15…答え

となり、logが消えて綺麗な形に計算することができました。

以上のようにlogを含んだ計算では先ほどの11個の公式をフルに活用する必要があるので、教科書や問題集で練習を重ねてくださいね!

また、対数の計算ならではの変形もあるので注意が必要です。

特に底の変換などは初めのうちは慣れないと思うので、問題をたくさん解いて自力でできるようにしましょう!

 



2. 対数関数とは?グラフを使った解説!

対数やlogの性質はこれまで述べてきた通りですが、対数は任意の正数x、1以外の正数aに対してay=xとなる実数yがただ一つ定まるという性質を持ちます。

これを利用して、y=logaxという関数を考えることにします。

対数を扱った関数なので、上記の関数を対数関数と言います。

指数関数はy=axで表されますが、何か関連性がありそうですね。

この指数と対数の関係は、グラフにすると鮮明に見えてきます。

y=ax ⇔ x=logay

グラフの形はaの値によって2パターンあります。

①a>1の時(図はa=2)

対数 グラフ

今回はY=2XとY=log2Xの対数が2の時のグラフを表示しました。

a>1の時の指数関数、対数関数のグラフは、どちらとも単調に増加します。

②0<a<1の時(図はa=1/2)

対数 グラフ②

今回はY= (\frac {1}{2})^XY=\log_ \frac {1}{2} Xの、対数が\frac {1}{2}の時のグラフを表示しました。

0<a<1時の指数関数、対数関数のグラフはどちらとも単調減少します。

どちらのグラフも対数関数の方は点(1,0)を通ることもわかります。

いずれの場合にせよ、指数関数のXとYを入れ替えたのが対数関数なので、指数関数と対数関数のグラフは、Y=Xにおいて対称になります。

0<a<1の時は真数が大きくなるほど対数が小さくなり、a>1の時は真数が大きくなるほど対数が大きくなるという性質は応用問題を解く際に重要になるので、グラフ等と関連させながらしっかり覚えましょうね!

 



3. 対数関数に関する超重要問題3選

対数関数についてどんなものかわかったところで、早速ですが対数関数に関する問題を解いていきましょう!

基本は二次関数や二次方程式と考えは同じですが、対数関数ならではの注意点に気をつけましょう。

3-1.対数の問題①〜対数方程式と対数不等式〜

(1)方程式log2x+log2(5-x)=2 を解け。

対数logが含まれる方程式を対数方程式と言います。

この方程式は、等式の左右ではlogの中身が同じである性質を用いて解きます。

解答:方程式を整理すると、log2x(5-x)=log24となります。

両辺底が2で等しいので、真数についてx(5-x)=4が成立します。

これを解くとx=1,4となりますね。

ここで真数条件に注意です。

真数条件よりx>0,(5-x)>0ですから、xの条件は0<x<5となります。

今回はx=1,4両方ともこれを満たしているので答えはx=1,4です。…答え

(2)方程式(log3x)2-4log9x =3を解け。

logに累乗がかかった対数方程式ではlogを一つの文字とみれば通常の二次方程式とほぼ同様に解くことができます。

解答:底の変換公式より、(log3x)2-4log9x =(log_3 x)^2-(4\frac {log_3 x}{log_3 9})=(log_3 x)^2-2log_3 xと変形できます。

したがって方程式は(log3x)2-2log3x =3と整理できました。

ここで、log3x = Pと置くと、方程式はP2-2P-3=0となります。

あとは簡単ですね、(P+1)(P-3)=0を解いてP=-1,3となります。

最後に、忘れずに変換を戻してくださいね!

ここではlog3x = -1,3よりx=3-1,33=\frac{1}{3},27となります。

これは真数条件x>0を満たしていますね。

(3)不等式log0.2(4x-1)<log0.2(x+11)を解け。

不等式でも(1)と要領は同じです。

対数の中身(真数、底)を揃えて整理するとlog0.2(4x-1)<log0.2(x+11)となりますね。

これより真数を比較しますが、底が1より小さいため、大小関係が逆転して(4x-1)>(x+11)となります。

これを整理して3x>12よりx>4となりますね。

ここで真数条件より4x-1>0,x+11>0から、x>1/4となります。

以上より、この不等式の答えはx>4…答え

不等式の場合は、底が1より小さいか大きいかをまず見てください

ここは非常にうっかりミスが多いポイントなので注意が必要です!

(4)不等式(log3x)2-log39x >0を解け。

(2)と同様に整理すると(log3x)2-log39x =(log3x)2-log39 -log3x =(log3x)2-2-log3x =(log3x +1)(log3x -2)>0となります。

したがってlog3x <-1,log3x >2より、

log_3 x <log_3 \frac{1}{3} , log_3 x >log_3 9となります。

ここでは底(3)が1より大きいので、真数条件に注意して0< x <\frac{1}{3},x >9となりますね。

3-2.対数の問題②〜最大最小問題〜

二次関数でよく見た最大最小に関する問題です。

関数にlogが入ってくるだけで、基本的な考えは二次関数と同じですので問題演習を通して説明していきます。

問題:1≦x≦27の時関数y=(log3x)2-4(log3x)+6の最大・最小値を求めよ。

先ほどの問題と同様、置き換えを有効活用して丁寧に解きましょう!

解答:log3x =Aと置きます。

すると関数はy=A2-4A+6となり、平方完成してy=(A-2)2+2となりますね。

こうなれば後は簡単、二次関数の最大最小問題と同じですね。

ここで、置換したのでAが取りうる範囲を考える必要があることに注意しましょう!

真数条件よりx>0、問題文より1≦x≦27から、xは1≦x≦27の範囲をとります。

したがって、Aはlog31≦ log3x (=A)≦ log327より0≦A≦3の範囲を取るとわかります(底は1より大きいので)。

すると、この問題は0≦A≦3において関数y=(A-2)2+2の最大・最小値を求めよ、と言い換えられますね。

これを解くとA=0で最大値6、A=2で最小値2となりました。

最後にAの変換を戻して、x=1で最大値6、x=9で最小値2を取るとわかります。…答え

この問題も対数方程式と同様に、対数logを何らかの文字で置き換え(範囲が変わることに注意!)、二次関数の最大最小問題に帰結させることが大切です!

3-3.対数の問題③〜センター試験頻出!桁数問題と常用対数〜

最後に、「常用対数」を扱った問題をやってみましょう!

常用対数とは底が10の対数(log10x)のことで、一般的にlog xの形で表され工学や理学などで頻繁に用いられます。

受験においては特にセンター試験頻出「桁数を問う問題」を解く際に必要になってきます。

常用対数は底が10になるだけで、対数としての基本的な考え方は全く同じです。

早速常用対数を用いた問題を実際に解いてみましょう!

問題:log103=0.4771とする。このとき320は何桁の整数か。

320の桁数を求めるのは普通に計算して行ったらものすごく時間がかかりそうですよね。

こんなときは常用対数を使用すると簡単に求めることができます!

解答:log10320を考えましょう(①)。

計算するとlog10320=20log103=20×0.4771=9.542となります。

したがって、logの定義から考えると109.542=320と表せますよね(②)。

つまり109<320<1010であり、これより320の桁数は10桁とわかります(③)。…答え

このように、logを使うことで綺麗に答えを導くことができました。

最初からこの方法を思いつくのは難しいと思うので、桁数を求める問題では、

①求めたい数の常用対数を取る②計算し、logの定義を用いて求めたい数を10の累乗で表す

③10の累乗に関する不等式を作り、桁数を導き出す(不等式の右側の10の累乗の数が桁数になる:100=102は3桁ですよね)。

この3ステップを覚えられればどんな値になっても対応できます!

余談ですが、問題文でlog103の値が与えられているため、なんとなく対数を使いそうだな、という判断もできますね。

また、桁数や累乗絡みの問題で悩んだら対数をとるとうまくいくことも多いですよ!

 

以上、対数関数の問題に触れてきましたが、最初は計算方法で戸惑うことが多いとおもいます。

そのため、まずはlogの計算が完璧にできるようにしてから対数関数の問題に取り組むことをオススメします!

対数関数の問題は解き方がほぼ決まっていたり、二次関数に帰着できる問題が多いので、演習するだけ得点につながりますよ!

 



4. 【発展】対数関数にまつわる微分・積分法を紹介!(※数学3の範囲)

(※以下は数学3の微分・積分の範囲になるので文系の方はスルーしていただいても構いません。)

これまで対数関数について説明してきましたが、最後に対数関数の微分・積分について説明していきます!

複雑な関数の最大・最小値を求める問題や回転体の体積を求める問題が多い数学3では、微分・積分は非常に大切なツールとなってきます。

その中でlogが入った対数関数についても微分・積分する機会は多いので、そのやり方を今回マスターしてしまいましょう!

logaxの微分公式について〜重要公式二つ〜

0<a<1,1<aを満たす、底がaの対数関数logaxについて、公式(logax)’=\frac{1}{xlog_e a}が成立します。

ここで底のeって何?と思う方もいるでしょう。

このeという数字はネイピア数と言って、e=\lim_{t \to 0}(1+t)^\frac{1}{t}=2.71828で表される数です。

πと並んで有名な無理数で、特に数3の微積分では頻出の数です。

このeを底とする対数は自然対数といい、ln xの形で表現されることもあります。

また(logex)’=\frac{1}{x}となり、微分し易く非常に使い勝手がいい関数となります。

どちらも証明は省略しますが、定義通りxの変化率を考えれば証明できるのでチャレンジしてみてくださいね。

この二つの公式は問題を解く時の様々な場面で登場するので使いこなせるようにしてください。

対数微分法について〜logの性質を活かした微分〜

先ほど対数関数の微分公式について説明しましたが、もう一つ微分に関して大切なのがこの「対数微分法」です。

対数微分法は、”累乗をlogの外に出せる”という対数ならではの性質を用いた微分法です。

変数(変数)という場合、累乗や√、分数により複雑な変数となっている場合に使われることが多いです。

手順はほとんど決まっているので、y=xsinx(x>0)を例に、以下にまとめます(以下、簡単のためlogexをlogxと表記します。数3ではこのように表記する場合が多いです)。

①x>0より両辺はともに正であり、両辺底がeの自然対数を取る。

logy=sinx・logx

②両辺をxで微分する。

\frac{d}{dx}logy = \frac{d}{dx} sinx・logx

③左辺はそのままでは微分できないので合成関数の微分を用いてyの指揮を微分する(煩雑になるので、微分記号dyやdxを掛け算のように考えてもらって構いません、\frac{dx}{dx}=1を掛けるイメージです。)

\frac{d log y}{dy}\frac{dy}{dx} = cosx・logx+sinx・\frac{1}{x}

④これでy(=xsinx)を微分した\frac{dy}{dx}が出てきたので、式を整理していきます。

\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = (cosx・logx+sinx・\frac{1}{x})

⑤最後に右辺に移動させたyを戻すのを忘れずに!

\frac{dy}{dx} = xsinx(cosx・logx+sinx・\frac{1}{x})…答え

このようにして微分することができました。

回りくどい方法かもしれないですが、これが使える場面は意外とあります

手順をしっかり覚えれば微分できる関数の幅が広がるので、確実にできるようにしましょう!

 

log絡みの積分公式について〜応用問題に必須〜

最後に、対数logが登場する積分公式を紹介します!

副題にもある通り、回転体の体積を求める問題や証明問題などでは頻出ですので、数3を使う方はしっかり押さえましょうね!

早速公式を紹介しましょう。

\int \frac{1}{x} dx=log|x|+C (Cは積分定数)

xが分母にある分数なら、積分するとlog|x|と簡単に表せることがわかりますね。

これは先ほど紹介した(logax)’=\frac{1}{xlog_e a}と関連があります。

微分ー積分がお互いに反対の操作であることを踏まえれば①が成立するのは必然といえますね。

\int logx dx=xlogx-x+C (Cは積分定数)

こちらは自然対数logxの積分に関する公式です。

証明には部分積分を用いるためここでは省略しますが、logxの積分は頻出ですのでいつでも使えるように訓練しておくべきです!

 

以上、対数logや対数関数にまつわる事柄を紹介してきました。

このページは対数関数やlogについて必ず抑えておいてほしい事柄を解説したものなので、全てを理解するくらいの勢いで学習してください!

覚える量は多いですが、演習を重ねれば自分で導出できる事柄や手足のように使いこなせる公式も増えてきます。

ですので、このページを参考にしつつ問題集での演習を必ずしてくださいね!

最初に述べたように、対数logや対数関数は文理・難易度を問わずかなりの頻度で出題されるのでしっかり身につけて自分の武器にしてしまいましょう!


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この記事の執筆者

ニックネーム:はぎー

東京大学理科二類2年
山梨県出身
好きなこと :スポーツ
得意科目:化学
ハマっていること:ひたすら寝ること