対数関数とは?logの基礎から公式やグラフまで解説!

数学 2018.9.28

対数・対数関数は、数学Ⅱで新しく習う分野であり、なかなか理解しがたい概念なのではないでしょうか。

しかし、数学Ⅱで学習する三角関数や微分・積分、そして対数と対数関数は、計算ができるだけで点数がもらえる、得点源になる単元なんです。

しっかり概念を理解して、計算をするだけで点数に結びつきます。

この記事を見て、対数関数をしっかりマスターしてゆきましょう。

 

1.対数関数の基本①対数とは

誤解を恐れず言うならば、指数とは、対数と同じものです。

既に学習した、指数を思い出してください。23乗はいくらになるでしょうか。

23 = □

もちろん 23=8 です。日本語にすると「23乗は8」です。

復習すると、指数の分野では、この「2」を「底」と言い、「3」を「指数」といいました。

→指数法則について復習したい方はこちら!

→指数関数について復習したい方はこちら!

 

では、この指数部分である「3」に注目するとどうなるでしょう。

つまり「3 = △」という式にすれば、△部分を28を用いて表すとどうなるでしょう。

このように考えたときに導入された概念が、「対数」です。

ここで、log という記号を導入して、以下のように定義することにしました。

23 = 8 ⇔ 3 = log28

log というのは、英語で対数を意味する logarithm (ロガリズム)の頭文字3字です。

「log28」を日本語で表すとするなら、「2を何乗すると8になるか」という値を表します。

 

なぜこのような概念が必要なのでしょうか。

もちろん 3 = log28 のような、すべて整数で表されるようなものであれば、わざわざ対数の概念を考える必要はありません。

しかし、以下のようなものであればどうでしょう。

2x = 9

xに入る数字を求めることができるでしょうか。

日本語で問い直すと「2を何乗すると9になるでしょう」となります。

コンピューターを使わないと求められないですよね。

このように、一般的な数字では、指数部分に注目した場合に、具体的な値が求められなくなってしまいます。

このままでは不便ですので、2x = 9 にたいして x = log29 と表すことにしたのです。

 

一般的に表しましょう。

ax = M ⇔ x = logaM

このとき、a を底とするMの対数を logaと表します。

a を「底」、Mを「真数」といいます。底という言い方は指数のときと同じですね。

 

はじめに「指数と対数は同じもの」といいました。

指数を考えたときに a の右上に乗っていた x について注目したのが、対数でした。
対数とは logaM のことであり、xのことです。

こう考えれば、指数と対数が本質的に同じものと考えられますよね。

 

2.対数関数の基本②対数の範囲

対数を考えるときに非常に重要なのが、底や真数のとりうる範囲です。

ここでも指数を思い出してください。

指数で ax = M を考えたときに、底 a には条件があったのを覚えているでしょうか。

 

底値a が負の値になってしまったときには、の値が振動して非常に考えづらくなってしまいます。

また、底が1の場合には はずっと1になってしまい、考えても仕方がありません。

ですので、指数関数の底には以下のような条件がありました。

a > 0 かつ a ≠ 1

また、このような条件があった場合にMの値はどうなるでしょう。

a は1以外の正の値をとります。その a を何乗したところで、正の数にしかなりませんよね。

そのため M > 0 という範囲が導かれます。

a > 0 かつ a ≠ 1(底の条件)

M > 0(真数条件)
 

対数の問題を考えるときには、この2つの条件を常に意識するようにしてください。

底や真数部分に x などの文字が入っていた場合に、その文字には自動的に範囲が設定されることになります。

 

3.対数関数の基本③対数に関する公式

対数の分野で覚えるべき公式は5つ、多くて7つ程度しかありません。

それも、指数や対数の定義が頭に入っていると、自然に導かれるものばかりです。

しっかり使えるようにしましょう。

 

対数の公式①

余裕があれば以下の覚えてしまいましょう。

 対数の公式②

 

それぞれ、まとめましょう。

 

①の式は、対数の定義そのものです。すでにこの記事で説明してきました。

 

②の式については、真数の掛け算がどうなるか、というものです。

指数法則を思い出しましょう。

ax × ay = ax+y

ここで、「指数と対数は同じもの」であること、ax = M という指数の定義も思い出しましょう。

ax = M, ay = N とするなら、左辺は真数同士の掛け算になりますね。

右辺、指数部分を見ると、指数(=対数)同士の足し算になっていますね。

つまり、真数同士の掛け算と対数の足し算が対応しているのです。

②の式を見ると同様に、真数同士の掛け算と対数の足し算が対応しています。

つまり②の式は

ax × ay = ax+y

を対数の形に変形しただけで、結局は指数法則を表しているのです。

 

③の式も②の式と同様に変形できます。対応する指数法則は

ax ÷ ay = ax-y 

です。

 

④の式も指数法則に対応しています。

(ax)r = axr

に対応しています。

どうぜ覚えるなら、より発展した、対数関数の公式

 を覚えましょう。

 

つまり、対数で覚えるべき①から④の式は、指数法則で覚えた式に対応しているのです。

 

⑤は底の変換公式と呼ばれます。

①から④の公式は底が同じでなければ使うことができません。

底が異なる場合に用いるのが、この⑤の公式です。

 

⑥は、対数の定義に照らし合わせると、当然のことです。

対数 x = logaM は「a を何乗するとMになるか、という値をxとする」という意味でした。

loga1 = 0 をみると、「数 a を0乗すると1になる」ということを表していることになりますよね。

これは指数法則で習った通りです。

 

⑦の式は一見、複雑に感じられますが、実は対数の定義そのものなのです。

alogaM = M

定義式①の右の式を、①の左の式に代入してみてください。そのまま⑦の形になるはずです。

 

logaM は「a を何乗するとMになるか」という数です。

⑦の式を見ると、a を「a を何乗するとMになるか」乗しているのですから、右辺がMになるのは当然のことです。

 

4.対数関数のグラフの書き方

y = logaX を、a を底とする x の対数関数といいます。

対数関数で重要なのは、x の値が増加したときに y の値がどうなるか、です。これは底 a の値によって異なります。

それぞれの定義域と値域にも注意してください。
下のどちらのグラフも x は負の値にはなっていませんね。
そして y の値は全ての実数の値をとります。

この「x は負の値をとらない」ということが、対数の真数条件と対応しています。

真数条件については、上記の対数の範囲のところを確認してください。

 a > 1 のとき、x の値が増加すると、yの値も増加する。対数関数y=lonaxのグラフa>1

 

 0 < a < 1 のとき、x の値が増加すると、yの値は減少する。 対数関数y=lonaxのグラフ0<a<1

 

5.対数関数の例題

問題

対数関数の問題

 (↓以下に回答と解説)

 

 

 

 

 

 

解答・解説

対数の問題を考えるときには、まず底を確認しましょう。

この問題では底が 1/3 になっています。

先ほど書いたように、対数には「0 < a < 1」という性質がありますので、面倒です。

よって、底を1より大きい値に変換してしまいましょう。
このときに用いるのが、底の変換公式です。

対数関数の問題の解答1

対数の計算法則を使うと以上のように変形できます。

ここで、t = log3x とおきましょう。
「よく出るものは別の文字に置き換える」と式が見やすくなります。

そして「置いた文字は定義域に注意」してください。

この場合は、

対数関数の問題の解答2

という の範囲が導かれます。すると

対数関数の問題の解答3

二次方程式の最大値最小値の問題になりましたので、平方完成をしましょう。

の範囲に注目すると、最大値最小値が導かれます。

t = log3x とおきましたので、x = 3t となりますので、答えは以下のようになります。

 

対数関数の問題の解答4

 

まとめ

最初にも述べたように、対数の問題は「計算ができるだけで点数がもらえる」分野です。

しっかり計算して、計算方法を頭に馴染ませるところから始めましょう。


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この記事の執筆者

ニックネーム:受験のミカタ編集部

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