対数関数とは?logの基礎から公式やグラフまで解説!

数学 2018.9.28
対数関数とは?logの基礎から公式やグラフまで解説!

対数・対数関数は、数学Ⅱで新しく習う分野であり、なかなか理解しがたい概念なのではないでしょうか。

しかし、数学Ⅱで学習する三角関数や微分・積分、そして対数と対数関数は、計算ができるだけで点数がもらえる、得点源になる単元なんです。

しっかり概念を理解して、計算をするだけで点数に結びつきます。

この記事を見て、対数関数をしっかりマスターしていきましょう。

指数関数の公式について知りたい方は「指数法則の公式7個は暗記必須!必ず解くべき問題付き」をご覧ください。

さらに指数関数のグラフの書き方について知りたい方は「指数関数をわかりやすく解説!グラフの書き方もマスターしよう」をご覧ください。

 

    1.対数関数の基本①対数とは

    誤解を恐れず言うならば、指数とは、対数と同じものです。

    既に学習した、指数を思い出してください。23乗はいくらになるでしょうか。

    23 = □

    もちろん 23=8 です。日本語にすると「23乗は8」です。

    復習すると、指数の分野では、この「2」を「底」と言い、「3」を「指数」といいました。

     

    では、この指数部分である「3」に注目するとどうなるでしょう。

    つまり「3 = △」という式にすれば、△部分を28を用いて表すとどうなるでしょう。

    このように考えたときに導入された概念が、「対数」です。

    ここで、log という記号を導入して、以下のように定義することにしました。

    23 = 8 ⇔ 3 = log28

    log というのは、英語で対数を意味する logarithm (ロガリズム)の頭文字3字です。

    「log28」を日本語で表すとするなら、「2を何乗すると8になるか」という値を表します。

     

    なぜこのような概念が必要なのでしょうか。

    もちろん 3 = log28 のような、すべて整数で表されるようなものであれば、わざわざ対数の概念を考える必要はありません。

    しかし、以下のようなものであればどうでしょう。

    2x = 9

    xに入る数字を求めることができるでしょうか。

    日本語で問い直すと「2を何乗すると9になるでしょう」となります。

    コンピューターを使わないと求められないですよね。

    このように、一般的な数字では、指数部分に注目した場合に、具体的な値が求められなくなってしまいます。

    このままでは不便ですので、2x = 9 にたいして x = log29 と表すことにしたのです。

     

    一般的に表しましょう。

    ax = M ⇔ x = logaM

    このとき、a を底とするMの対数を logaと表します。

    a を「底」、Mを「真数」といいます。底という言い方は指数のときと同じですね。

     

    はじめに「指数と対数は同じもの」といいました。

    指数を考えたときに a の右上に乗っていた x について注目したのが、対数でした。
    対数とは logaM のことであり、xのことです。

    こう考えれば、指数と対数が本質的に同じものと考えられますよね。

     

      2.対数関数の基本②対数の範囲

      対数を考えるときに非常に重要なのが、底や真数のとりうる範囲です。

      ここでも指数を思い出してください。

      指数で ax = M を考えたときに、底 a には条件があったのを覚えているでしょうか。

       

      底値a が負の値になってしまったときには、の値が振動して非常に考えづらくなってしまいます。

      また、底が1の場合には はずっと1になってしまい、考えても仕方がありません。

      ですので、指数関数の底には以下のような条件がありました。

      a > 0 かつ a ≠ 1

      また、このような条件があった場合にMの値はどうなるでしょう。

      a は1以外の正の値をとります。その a を何乗したところで、正の数にしかなりませんよね。

      そのため M > 0 という範囲が導かれます。

      a > 0 かつ a ≠ 1(底の条件)

      M > 0(真数条件)
       

      対数の問題を考えるときには、この2つの条件を常に意識するようにしてください。

      底や真数部分に x などの文字が入っていた場合に、その文字には自動的に範囲が設定されることになります。

       

      3.対数関数の基本③対数に関する公式

      対数の分野で覚えるべき公式は5つ、多くて7つ程度しかありません。

      それも、指数や対数の定義が頭に入っていると、自然に導かれるものばかりです。

      しっかり使えるようにしましょう。

       

      対数の公式①

      余裕があれば以下の覚えてしまいましょう。

       対数の公式②

       

      それぞれ、まとめましょう。

       

      ①の式は、対数の定義そのものです。すでにこの記事で説明してきました。

       

      ②の式については、真数の掛け算がどうなるか、というものです。

      指数法則を思い出しましょう。

      ax × ay = ax+y

      ここで、「指数と対数は同じもの」であること、ax = M という指数の定義も思い出しましょう。

      ax = M, ay = N とするなら、左辺は真数同士の掛け算になりますね。

      右辺、指数部分を見ると、指数(=対数)同士の足し算になっていますね。

      つまり、真数同士の掛け算と対数の足し算が対応しているのです。

      ②の式を見ると同様に、真数同士の掛け算と対数の足し算が対応しています。

      つまり②の式は

      ax × ay = ax+y

      を対数の形に変形しただけで、結局は指数法則を表しているのです。

       

      ③の式も②の式と同様に変形できます。対応する指数法則は

      ax ÷ ay = ax-y 

      です。

       

      ④の式も指数法則に対応しています。

      (ax)r = axr

      に対応しています。

      どうぜ覚えるなら、より発展した、対数関数の公式

       を覚えましょう。

       

      つまり、対数で覚えるべき①から④の式は、指数法則で覚えた式に対応しているのです。

       

      ⑤は底の変換公式と呼ばれます。

      ①から④の公式は底が同じでなければ使うことができません。

      底が異なる場合に用いるのが、この⑤の公式です。

       

      ⑥は、対数の定義に照らし合わせると、当然のことです。

      対数 x = logaM は「a を何乗するとMになるか、という値をxとする」という意味でした。

      loga1 = 0 をみると、「数 a を0乗すると1になる」ということを表していることになりますよね。

      これは指数法則で習った通りです。

       

      ⑦の式は一見、複雑に感じられますが、実は対数の定義そのものなのです。

      alogaM = M

      定義式①の右の式を、①の左の式に代入してみてください。そのまま⑦の形になるはずです。

       

      logaM は「a を何乗するとMになるか」という数です。

      ⑦の式を見ると、a を「a を何乗するとMになるか」乗しているのですから、右辺がMになるのは当然のことです。

       

        4.対数関数のグラフの書き方

        y = logaX を、a を底とする x の対数関数といいます。

        対数関数で重要なのは、x の値が増加したときに y の値がどうなるか、です。これは底 a の値によって異なります。

        それぞれの定義域と値域にも注意してください。
        下のどちらのグラフも x は負の値にはなっていませんね。
        そして y の値は全ての実数の値をとります。

        この「x は負の値をとらない」ということが、対数の真数条件と対応しています。

        真数条件については、上記の対数の範囲のところを確認してください。

         a > 1 のとき、x の値が増加すると、yの値も増加する。対数関数y=lonaxのグラフa>1

         

         0 < a < 1 のとき、x の値が増加すると、yの値は減少する。 対数関数y=lonaxのグラフ0<a<1

         

          5.対数関数の例題

          問題

          対数関数の問題

           (↓以下に回答と解説)

           

           

           

           

           

           

          解答・解説

          対数の問題を考えるときには、まず底を確認しましょう。

          この問題では底が 1/3 になっています。

          先ほど書いたように、対数には「0 < a < 1」という性質がありますので、面倒です。

          よって、底を1より大きい値に変換してしまいましょう。
          このときに用いるのが、底の変換公式です。

          対数関数の問題の解答1

          対数の計算法則を使うと以上のように変形できます。

          ここで、t = log3x とおきましょう。
          「よく出るものは別の文字に置き換える」と式が見やすくなります。

          そして「置いた文字は定義域に注意」してください。

          この場合は、

          対数関数の問題の解答2

          という の範囲が導かれます。すると

          対数関数の問題の解答3

          二次方程式の最大値最小値の問題になりましたので、平方完成をしましょう。

          の範囲に注目すると、最大値最小値が導かれます。

          t = log3x とおきましたので、x = 3t となりますので、答えは以下のようになります。

           

          対数関数の問題の解答4

           

            まとめ

            最初にも述べたように、対数の問題は「計算ができるだけで点数がもらえる」分野です。

            しっかり計算して、計算方法を頭に馴染ませるところから始めましょう。

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            この記事の執筆者

            ニックネーム:受験のミカタ編集部

            「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している「受験応援メディア」です。