方べきの定理を見やすい図で即理解!必ず解きたい問題付き

数学 2016.9.14

方べきの定理について、スマホでも見やすい図を使いながら、早稲田大学に通う筆者が解説します。

数学が苦手な人でも、必ず方べきの定理が理解できる内容です。

本記事だけで、方べきの定理に関する内容を完璧に網羅しています。

ぜひ最後まで読んで、方べきの定理をマスターしてください!

【 目次 】

①方べきの定理とは?

②方べきの定理:証明

③方べきの定理の逆とは?

④方べきの定理の逆:証明

⑤方べきの定理:練習問題

 

①方べきの定理とは?

まずは、方べきの定理とは何かについて解説します。

方べきの定理には、2つのパターンがあるので、注意してください。

方べきの定理:パターン1

下の図のように、円の2つの弦AB、CDの交点、またはそれらの延長の交点を点Pとすると、

PA・PB = PC・PD

が成り立つ。

方べきの定理解説画像

以上が方べきの定理の1つ目です。

 

方べきの定理:パターン2

下の図のように、円の外部の点Pから円に引いた接線の接点をTとする。点Pを通って、この円と2点A、Bで交わる直線を引くと、

PA・PB = PT2

が成り立つ。

方べきの定理解説画像

以上が方べきの定理の2つ目です。

では、方べきの定理はなぜ成り立つのでしょうか?次の章からは、方べきの定理が成り立つ理由(方べきの定理の証明)をしていきます。

 

②方べきの定理:証明

方べきの定理には、2つのパターンがありました。よって、方べきの定理の証明も、2つのパターンに分けて証明します。

方べきの定理:証明(パターン1)

下の図において、△PACと△PDBに注目します。

すると、

∠APC = ∠DPB 、 ∠CAP = ∠BDP

よって、

△PAC ∽ △PDB ですね。

方べきの定理の証明解説画像

ゆえに、

PA:PD = PC:PBとなるので、

PA・PB = ・PC・PDが証明されました。

 

方べきの定理:証明(パターン2)

次は、方べきの定理パターン2の証明です。

下の図において、△PTAと△PBTに注目します。

直線PTは円の接線なので、接弦定理より、

∠PTA = ∠PBT・・・①

※接弦定理がよくわからない人は、接弦定理について詳しく解説した記事をご覧ください。

∠Pは共通・・・②

①②より、

△PTA ∽ △PBT ですね。

方べきの定理の証明解説画像

ゆえに、

PT:PB = PA:PTとなるので、

PA・PB = PT2 が証明されました。

 

方べきの定理の解説は以上です。方べきの定理は、三角形の相似に注目すると、簡単に証明できることが分かったかと思います。

 

③方べきの定理の逆とは?

方べきの定理を学習すると、方べきの定理の逆という内容も学習します。この章では、方べきの定理の逆とは何かについて解説します。

下の図のように、2つの線分AB、CD、またはそれらの延長の交点を点Pとするとき、

「PA・PB = PC・PDが成り立つならば、4点A、B、C、Dは1つの円周上にある」ことを方べきの定理の逆といいます。

方べきの定理の逆の解説画像

 

方べきの定理の逆はあまり使う機会はないかもしれませんが、知っておくと便利なので、ぜひ覚えておきましょう!

次の章では、方べきの定理の逆が成り立つ理由(方べきの定理の逆の証明)を解説します。

 

④方べきの定理の逆:証明

方べきの定理の逆の証明は、非常にシンプルです。

下の図のように、△ABCの外接円と半直線PDの交点をD’とすると、方べきの定理より、

PA・PB = PC・PD’

また、仮定より、

PA・PB = PC・PD

なので、PD = PD’ となります。

よって、半直線PD上の2点D、D’は一致します。

方べきの定理の逆の証明解説画像

以上より、4点A、B、C、Dは1つの円周上にあることが証明されました。

 

方べきの定理の逆の証明の解説は以上になります。点Dと点D’が一致するというなんだか不思議な証明ですが、シンプルだったのではないでしょうか?

 

⑤:方べきの定理:練習問題

最後に、方べきの定理に関する練習問題を解いてみましょう!

本記事で方べきの定理が理解できたかを試すのに最適な練習問題なので、ぜひ解いてみてください!

練習問題①

下の図において、xの値を求めよ。

方べきの定理練習問題の画像

練習問題①:解答&解説

方べきの定理を使いましょう!

方べきの定理より、

6・4=3・x

x = 8・・・(答)

となります。

 

練習問題②

下の図において、xの値を求めよ。

方べきの定理練習問題の画像

練習問題②:解答&解説

方べきの定理より、

3・(3+8)=x・(x+4)より、

x2 + 4x – 33 = 0

解の公式を使って、

x = -2 + √37・・・(答)

※解の公式がよくわからない人は、解の公式について詳しく解説した記事をご覧ください。

 

練習問題③

下の図において、xの値を求めよ。

方べきの定理練習問題の画像

練習問題③:解答&解説

方べきの定理より、

x・(x+10) = (√21)2

x2 + 10x -21 = 0

より、解の公式を使って、

x = -5 + √46・・・(答)

となります。

 

方べきの定理に関する解説は以上になります。

方べきの定理は、定期試験や模試、入試などでも頻出の分野です。

方べきの定理を忘れてしまったときは、また本記事で方べきの定理を復習してください!


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