トレミーの定理とは?証明&使い方が誰でもわかる!

数学 2016.12.19
トレミーの定理とは?証明&使い方が誰でもわかる!

高校数学におけるトレミーの定理について、数学が苦手な人でも理解できるように現役の早稲田生が解説します。

トレミーの定理は、学校ではあまり学習しませんが、非常に便利な公式です。

受験生の人たちはトレミーの定理を知っておくとセンター試験などでも時間が短縮できるでしょう。

本記事を読めば、トレミーの定理とは何か・トレミーの定理の証明・トレミーの定理の使い方が理解できるでしょう。

ぜひ最後まで読んで、トレミーの定理をマスターしてください!

 

    1:トレミーの定理とは?

    まずはトレミーの定理とは何かについて解説します。

    トレミーの定理とは、以下の図のように四角形が円に内接している時、「AB・CD+AD・BC=AC・BD」が成り立つことを言います。

    【トレミーの定理】

    トレミーの定理とは何かの解説画像

    以上がトレミーの定理とは何かの解説です。では、トレミーの定理はなぜ成り立つのでしょうか?

    次の章ではトレミーの定理が成り立つ理由(トレミーの定理の証明)を解説します。

     

      2:トレミーの定理の証明

      では、トレミーの定理の証明を行います。

      まず、下の図のように、「AB=a、BC=b、CD=c、DA=d、AC=e、BD=f」とし、∠ABC=θとします。

      トレミーの定理証明解説画像

      すると、∠ADC=π-θですね。

      ここで、余弦定理を思い出してください。

      ※余弦定理を忘れた人は、余弦定理について詳しく解説した記事をご覧ください。

      余弦定理より、

      cosθ=(a2+b2-e2)/2ab・・・①

      また、

      cos(π-θ)=(c2+d2-e2)/2cd・・・②

      ここで、cos(π-θ)=-cosθでした。

      ※cos(π-θ)=-cosθになる理由がわからない人は、加法定理について詳しく解説した記事をご覧ください。

      よって、

      ②は、

      -cosθ=(c2+d2-e2)/2cd・・・③

      と変形できますね。

      ここで、①のcosθを③に代入して

      -(a2+b2-e2)/2ab=(c2+d2-e2)/2cd

      となりますね。これをeについて解くと、

      e2={(ac+bd)(ad+bc)}/(ab+cd)・・・④

      が得られます。

      同様に考えて、

      f2={(ac+bd)(ab+cd)}/(ad+bc)・・・⑤

      ④×⑤より、

      e2f2=(ac+bd)2

      となるので、

      ef=ac+bd

      が成り立つことがわかります。

      以上がトレミーの定理の証明です。

      次の章からは、練習問題でトレミーの定理の使い方を学習していきます。

       

      3:トレミーの定理の問題(使い方)

      では、実際の練習問題を解いてトレミーの定理の使い方を学習していきましょう!

      トレミーの定理:問題1

      以下の図のように、円に内接した四角形がある。この時、BDの長さを求めよ。

      トレミーの定理の問題

      解答&解説

      トレミーの定理をそのまま使えば解けるシンプルな問題です。

      トレミーの定理より、AB・CD+AD・BC=AC・BDなので、

      10・5+5・8=9・BD

      90 = 9・BDより、

      BD=10・・・(答)

      となります。

       

      トレミーの定理:問題2

      以下の図のように、円に内接した四角形がある。この時、BDの長さを求めよ。

      トレミーの定理の問題

      解答&解説

      まずは三角形ACDに注目します。

      余弦定理を使ってACの長さを求めましょう。

      ※余弦定理を忘れてしまった人は、余弦定理について詳しく解説した記事をご覧ください。

      余弦定理より、

      AC2

      =32+52-2・3・5・cos120°

      =9+25-30・(-1/2)

      =49

      よって、

      AC=7となります。ACの長さが求まったので、あとはトレミーの定理を使います。

      トレミーの定理より

      7・5+3・7=7・BD

      より、

      56=7・BD なので

      BD=8・・・(答)

      となります。

       

      いかがでしたか?トレミーの定理の便利さがお分かりいただけましたか?

      トレミーの定理はあまり数学の教科書では出てきませんが、非常に便利な公式です。

      トレミーの定理を使えば、センター試験でも時間の短縮に繋がったりすることもあります。

      トレミーの定理を忘れてしまったときは、また本記事でトレミーの定理を復習してください!

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      この記事の執筆者

      ニックネーム:やっすん

      早稲田大学商学部4年
      得意科目:数学