簡単!二次関数の頂点の求め方2つを慶應生が解説してみた

数学 2017.2.22

中学数数学・高校数学における二次関数の頂点の求め方(公式)について、慶応大学に通う筆者が丁寧に解説します。

数学が苦手な人でも二次関数の頂点の求め方(公式)が理解できるよう、スマホでも見やすいイラストで解説していきます。

二次関数の頂点の求め方(公式)は2つ(本記事で紹介)あり、どちらも非常に重要です。

二次関数の頂点を求めるという過程は、数学の基本なので、必ず理解しておきましょう!

受験のミカタでは、二次関数のグラフの書き方について解説した記事も用意しています。本記事と合わせて読むと、より二次関数の理解が深まるので、ぜひご覧ください。

 

1:二次関数の頂点の求め方(平方完成から求める方法)

二次関数の頂点の求め方のイメージ

文頭でも述べた通り、二次関数の頂点の求め方は2つあります。

1つは平方完成から求める方法、もう1つは二次関数の頂点の公式を暗記して求める方法です。

まずは平方完成から求める二次関数の頂点を求める方法について解説します。

実際に例題を解きながら理解していきましょう!

例題

二次関数y=x2+6x+10の頂点の座標を求めよ。

解答&解説

二次関数の頂点を求めるには、与えられた二次関数をまずは平方完成します。

※平方完成のやり方を忘れてしまった人は、平方完成について解説した記事をご覧ください。

平方完成すると、

y

=x2+6x+10

=(x+3)2+1

ですね。

すると、二次関数y=x2+6x+10の頂点の座標は、

(-3, 1)・・・(答)

となります。

つまり、ある二次関数が

(x+a)2+b

というように平方完成できるとき、その二次関数の頂点の座標は(-a, b)となります。

今回は、二次関数が

(x+3)2+1と平方完成できたので、頂点の座標は(-3, 1)となったわけです。

以上が平方完成を使って二次関数の頂点を求める方法です。

しかし、数学の問題の度に毎回平方完成をするのは面倒ですよね?

次の章では、その面倒さを解決するために、二次関数の頂点の公式を紹介します!

 

2:二次関数の頂点の求め方(公式を使って求める方法)

二次関数の頂点の求め方のイメージ

では、二次関数の頂点の公式を紹介します。

ある二次関数y=ax2+bx+cの頂点の座標は

(-b/2a, -(b2-4ac)/4a)

となります。

二次関数グラフの頂点の公式

以上の公式を知っていれば、わざわざ二次関数を平方完成しなくても頂点の座標を求めることができます。

では、なぜ以上のような公式が成り立つのかの証明を行っておきます。

証明

二次関数y=ax2+bx+cを平方完成することを考える。

※平方完成のやり方を忘れてしまった人は、平方完成について解説した記事をご覧ください。

すると、

y

=ax2+bx+c

=a(x2+b/a・x)+c

=a(x+b/2a)2-(b/2a)2+c

=a(x+b/2a)2-(b2/4a2)+c

=a(x+b/2a)2-(b2/4a)+c

=a(x+b/2a)2+(-(b2-4ac)/4a)

となる。

したがって、二次関数y=ax2+bx+cの頂点の座標は

(-b/2a, -(b2-4ac)/4a)

となる。

いかがでしたか?

二次関数y=ax2+bx+cを地道に平方完成するだけでしたね。

二次関数の頂点を求める公式を暗記していれば、平方完成するときよりも時間を短縮できるのでぜひ覚えておきましょう。

 

3:二次関数の頂点の求め方(練習問題)

二次関数の頂点の求め方のイメージ

最後に、二次関数の頂点を求める練習問題を用意しました。

ぜひ解いてみてください。

もちろん、丁寧な解答&解説付きです。

練習問題

二次関数y=-3x2+18x+10の頂点の座標を平方完成を使って求めよ。

解答&解説

二次関数y=-3x2+18x+10を平方完成します。

※平方完成のやり方を忘れてしまった人は、平方完成について解説した記事をご覧ください。

y

=-3x2+18x+10

=-3(x2-6x)+10

=-3(x-3)2+37

となるので、求める頂点の座標は

(3, 37)・・・(答)

となる。

参考(公式を使って求めた場合)

二次関数の頂点の公式を使ってみると、頂点のx座標は

-18/2・(-3) = 3

また、頂点のy座標は

-(182-4・(-3)・10)/4・(-3)

=37

よって、求める頂点の座標は

(3, 37)・・・(答)

となり、平方完成を使って求めた時と同じになっていることが確認できました。

 

いかがでしたか?

二次関数の頂点の求め方(公式)が理解できましたか?

二次関数の頂点を求めるのは、数学の基本事項の1つです。必ずできるようにしておきましょう!


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この記事の執筆者

ニックネーム:受験のミカタ編集部

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