有理数とは？無理数との違い・見分け方も一発理解！練習問題付き

2：有理数と無理数の見分け方

さて、有理数と無理数を見分ける方法について説明をする前に、小数のことを深掘りします。
小数にはその数字の並びから、いくつかのパターンに分類されます。
まずは途中で数字が終わってしまう「有限小数」と、無限に続く「無限小数」です。

①有限小数
有限小数はたとえば0.5や1.72 や2.125などといった数です。これらはそれぞれ分数に直すことができて、

となります。このように、有限小数はみな有理数となります。

②循環小数
次に「無限小数」についてです。無限小数には2種類あり、ある部分を無限に繰り返している「循環小数」と、不規則に数字が並び続ける「非循環小数」とがあります。

循環小数の場合は、たとえば0.333…がわかりやすい例です。これは「3」が無限に繰り返されていますので循環小数です。

また、0.222…, 1.272727…も「2」や「27」を無限に繰り返している「循環小数」です。ちなみにこれらは、となります。

一般的には循環小数は分子・分母が整数である分数に変形できることが知られています。
したがって、循環小数も有理数となります。

※循環小数を分数に変換する方法がわからない人は、循環小数を分数に変換する方法について解説した記事をご覧ください。

③非循環小数
無限に続く循環しない小数は、高校までの内容であれば、√の数、円周率、自然対数の底が中心だと思ってもいいでしょう。この数、あるいはその数と有理数との四則演算を行った数は無理数です。

たとえば無理数とされるこれらの数

√2=1.41421356…　　覚え方「一夜一夜に人見頃」
√3=1.7320508…　  　覚え方「人並みに奢（おご）れや」
π=3.1415926535…　欧米での覚え方は　“Yes, I have a number.”

は、出てくる数字が全く規則性はなく、無限に続いていきます。

以上のことから、有理数・無理数の見分け方は次の通りとなります。
計算できるところはする。√の数は最も簡潔な形に変形しておく。

■整数と√やπのつかない分数は有理数
■小数は、有限小数と循環小数は有理数
■無限に不規則な小数は無理数
■√やπがついている部分があれば無理数

これらをわかりやすく図でまとめてみると、次のようになります。