簡単!二次不等式の解き方が誰でもわかる!必ず解きたい問題付き

数学 2017.2.14

高校数学における二次不等式の解き方について数学が苦手な人向けに丁寧に解説します。

スマホでも見やすいイラストで二次不等式の解き方について解説している充実の内容です。

本記事を読めば、二次不等式の解き方・すべての実数となる範囲の求め方・範囲に関する問題の解き方が理解できるでしょう。

例題を使いながら二次不等式の解き方について解説しているので、わかりやすい内容です。

数学が苦手でも安心して読んで、二次不等式をマスターしてください!

【 目次 】

1:二次不等式の解き方(公式)

2:二次不等式の解き方(問題)

3:二次不等式の解き方(すべての実数となる範囲の問題)

4:二次不等式の解き方(範囲に関する問題)

 

1:二次不等式の解き方(公式)

では、二次不等式の解き方(公式)について解説していきます。

まずは以下の2つの二次不等式の公式を覚えてください!

二次不等式の公式①

ax2+bx+c<0

という二次不等式(a>0)があるとき、

ax2+bx+c=0の解をx=p、q(p<q)とすると、

二次不等式の解は

p<x<q

となる。

これは下の図のように考えれば簡単に理解できます。

y=ax2+bx+cという関数を考え、x=p、qの時にy=0となることを考えれば、y<0の部分はp<x<qの箇所ですね。

二次不等式の公式①

 

二次不等式の公式②

ax2+bx+c>0

という二次不等式(a>0)があるとき、

ax2+bx+c=0の解をx=p、q(p<q)とすると、

二次不等式の解は

x<p、q<x

となる。

これも下の図のように考えれば簡単に理解できます。

y=ax2+bx+cという関数を考え、x=p、qの時にy=0となることを考えれば、y>0の部分はx<p、q<xの箇所ですね。

二次不等式の公式②

以上が二次不等式の公式です。これは必ず覚えておきましょう!

 

2:二次不等式の解き方(問題)

では、先ほど学習した二次不等式の公式を使って問題を解いてみましょう。

例題1

二次不等式x2+5x+6<0を解け

解答&解説

まずは

x2+5x+6=0

の解を考えます。

(x+2)(x+3)=0

より

x=-2、-3です。

よって、二次不等式の公式①より、答えは

-3<x<-2・・・(答)

となります。

 

例題2

二次不等式x2+5x-36>0を解け。

解答&解説

まずはx2+5x-36=0の解を考えます。

(x+9)(x-4)=0

より、

x=-9、4ですね。

よって、二次不等式の公式②より

x<-9、4<x・・・(答)

となります。

いかがでしたか?簡単ですよね?

二次不等式の解き方としては、まずはxの値を求めて、公式①と②のどちらを適応するのか?を考えましょう。

 

3:二次不等式の解き方(すべての実数となる範囲の問題)

二次不等式の問題では、「すべての実数となる範囲を求める問題」がよく出題されるのでできるようにしておきましょう。

では、例題を使いながら解説します。

例題

二次不等式

x2+6x+k>0

の解がすべての実数となるkの範囲を求めよ。

解答&解説

y=x2+6x+kとして考えていきましょう。

「すべての実数となる範囲」を求める問題では、判別式Dを使うのが定石です。

まず、すべての実数においてy>0とはどういうことか、グラフで考えてみます。

すべての実数においてy>0

すると、x軸と交わらない、つまりy=x²+6x+kの実数解が無しになればよいということが分かるかと思います。

実数解を調べるために必要なのが、判別式Dです。

※判別式とは何か忘れた人は、判別式について解説した記事をご覧ください。

判別式Dを計算してみると、

D

=62-4×1×k

=-4k+36

ですね。

実数解無しというのは、判別式D<0なので

-4k+36<0

つまり、

k>9・・・(答)

となります。

 

4:二次不等式の解き方(範囲に関する問題)

最後にもう一つ、範囲に関する二次不等式の問題を出題します。

応用問題で少し難しく感じるかもそれませんが、ぜひ解いてみてください。

例題

すべての実数xに対して、不等式

kx2+6x+k+2<0

が成り立つ時のkの範囲を求めよ。

解答&解説

問題文に注意しましょう!

「不等式」と書いていますね。「二次不等式」とは書いていません!

なので、kx2の係数kについての場合分けが必要です。

一つはk=0の場合。

そして、kx2+6x+k+2が0よりも小さくなるには、下図のようにグラフで考えると、上に凸なグラフでなければなりませんね。

上に凸なグラフ

もしk>0ならば、kx2+6x+k+2は下に凸なグラフになるので、

kx2+6x+k-2<0

という条件を満たすことはできなくなるので、k>0は考えなくて良いです。

では、問題を解いていきます。

【k=0のとき】

k=0のとき、

kx2+6x+k+2

= 2

となり0より小さいという条件に反するので、不適

【k<0のとき】

k<0のとき、

kx2+6x+k+2<0

を満たすためには、判別式D<0であれば良い。

※判別式を忘れてしまった人は、判別式について解説した記事をご覧ください。

判別式D

= 62-4・k・2

= 36 – 8k

36-8k<0

より、

k>9/2

これとk>0の共通範囲が答えとなります。

k>0の共通範囲

以上の図より、求める答えは

k>9/2・・・(答)

となります。

 

いかがでしたか?

二次不等式の解き方が理解できましたか?

二次不等式の問題では、「すべての実数を求めよ」という問題がよく出題されます。

ぜひ解けるようにしておきましょう!


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