【垂心とは？】三角形の五心と位置ベクトルを解説！垂心の証明も

三角形の垂心は、三角形の3本の垂線が交わる点です。
三角形には五心と呼ばれる点があり、それぞれ性質を知っておく必要があります。
重心・外心・内心・垂心・傍心が三角形の五心ですが、特に重心・外心・内心を三角形の三心といいます。

この記事では、三角形の垂心についてまとめます。

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1.   三角形の垂心とは

三角形には垂心などの五心と呼ばれる点があります。
受験において三角形の五心が出題される場合には、その性質を前提として出題されますから、それぞれの性質をしっかり押さえておく必要があります。

三角形の五心はそれぞれ、3本の直線が1点で交わる点です。
各頂点から対辺に下した3本の垂線が交わるような点を垂心といいます。

三角形の五心が主に登場するのは、数学Aの図形の性質、数学Bのベクトルの分野です。
数学Aの問題として登場するのは、重心・外心・内心が多いですが、数学Bの問題としては垂心も出題頻度が上がります。

垂心を作図するときには、各頂点から対辺にむかって垂線を下ろします。
ですから、各垂線と三角形の辺は垂直に交わります。
「ベクトル」と「垂直」というキーワードが出てくれば、「内積が0」を即座に連想できなければなりません。

垂心の問題は、内積が0という知識を問うのに持ってこいの問題です。

2.【垂心と一緒に覚えたい三角形の性質】三角形の三心

どんな三角形であっても、三角形の三心や五心と呼ばれる点を定義できます。
三角形の五心は一般的な三角形では別々の点になりますが、特殊な場合には重なることもあり、「内心と垂心が同じ点であることを証明せよ」という問題が出題されることもあります。

• 三角形の重心
• 三角形の外心
• 三角形の内心

を三角形の三心と言い

それに

• 三角形の垂心
• 三角形の傍心

を加えて三角形の五心と呼びます。

それぞれの定義と、そこから導かれる性質を知っておく必要があります。

2-1.【垂心と一緒に覚えたい三角形の性質】三角形の重心とは

三角形の重心は、三角形の3本の中線の交わる点です。
中線とは、頂点から対辺の中点に引いた線分です。

三角形の頂点は3つありますから、、中線は3本引くことができます。
3本の中線は1点で交わり、その点を三角形の重心と言います。

三角形の重心の重要な性質は、「重心は各中線を2 : 1 に内分する」ということです。
つまり、三角形ABCがあり辺BCの中点をM、三角形ABCの重心をGとすると、線分AMを中線といい、AG : GM = 2 : 1 になります。

また、3点A、B、Cの座標をそれぞれ (x_1,y_1 ),(x_2,y_2 ),(x_3,y_3) とおくと、重心Gの座標は

で求めることができます。

2-2.【垂心と一緒に覚えたい三角形の性質】三角形の内心とは

三角形ABCを書いたとき、どんな三角形を書いたとしても、その三角形に内接する円を書くことができます。
この円を内接円と言い、内接円の中心を内心と言います。

「内」接円の中「心」だから、内心です。

三角形ABCにたいして、内心をI、内接円と辺BC・辺CA・辺ABとの交点をD, E, Fと置きます。
円は中心から距離が等しい点の集まりですから、ID = IE = IF となります。
すなわち、各辺から距離が等しいような点が内心Iなのです。

平行でない2辺からの距離が等しいような点は無数にあり、この点を集めるとその2辺の角の二等分線になります。
ですから、三角形の内心とは、3本の角の二等分線が交わるような点です。

また円の性質から、AF = AE, CE = CD, BD = BF となることも押さえておきましょう。

2-3.【垂心と一緒に覚えたい三角形の性質】三角形の外心とは

内心が内接円の中心なら、外心が外接円の中心であることは想像できるでしょう。
三角形ABCがあるとき、その三角形に外接する円を描くことができます。

この円を外接円と言い、外接円は三角形の頂点A, B, Cをそれぞれ通ります。

ですから、外接円の中心をOとすると、AO = BO = CO となります。
日本語で言い換えれば、外心とは三角形の3つの頂点から等しい距離にあるような点、ということになるでしょう。

2点A, Bからの距離が等しいような点を集めると、線分ABの垂直二等分線になります。
ですから、外心とは3本の垂直二等分線の交点である、といえます。

3.   三角形の垂心と位置ベクトルによる証明

三角形の垂心とは、三角形の3つの頂点から対辺に下した垂線が交わる点です。
3本の直線が1点で交わるのは特殊な場合です。一般的には3本の直線は3点でそれぞれ交わります。

ですから、ここでは3本の垂線が1点で交わることを、位置ベクトルを使って証明しておきましょう。

問題. 　鋭角三角形ABCにおいて、3本の垂線が1点で交わることを証明せよ。

（※以下に解答と解説↓）

解答・解説

「3本の直線が1点で交わることを証明する」のはやり方を知らないと、どうすればよいか全然わからないのではないでしょうか。

この問題は次のように言い換えて証明してゆきましょう。

問題. 鋭角三角形ABCにおいて、頂点B, C からそれぞれ直線AC, ABに下した垂線の交点をHとする。点Aから直線BCに下した垂線は、点Hを通ることを証明せよ。

平面上で平行でない直線が2本あれば、1点で交わります。

「3本の直線が1点で交わる」というのは、残りの1本の直線が2直線の交点を通る、として証明するのが定石です。

問題には一切「ベクトル」という言葉は使われていませんが、垂直を証明する場合にはベクトルの内積が0であることを言えばよいため、ベクトルを利用すると楽に解けることがあります。

AH⊥BCを証明すればよいので、

であればよいことになります。

です。

BH⊥AC, CH⊥ABですから、

となります。ベクトルの問題では、始点を合わせておくと便利ですから、始点を頂点Aに統一しておきましょう。

となります。

また

となりますから、

のように計算できます。

内積が0になりましたから、AH⊥BCを証明できました。
三角形ABCについて、頂点B, Cから対辺に垂線を引き、残りの頂点Aとその交点を通るような直線が、垂線になりました。

すなわち、3本の垂線が1本で交わることが証明できたことになります。

4.　外心と垂心の位置ベクトル

三角形ABCの垂心をH、外心をOとすると、それぞれの位置ベクトルは以下のように表すことができます。

これには以下のような三角形と位置ベクトルの性質が関係しています。

• 位置ベクトル性質1

三角形ABCとその内部の点Pについて、三角形PBCと三角形PCA、三角形PABの面積比がx : y : z のとき、Pの位置ベクトルは

で表される。

• 位置ベクトルの性質2

三角形ABCについて、BC上の点P、CA上の点Q、AB上の点Rに対して

AR : RB = y : x
BP : PC = z : y
CQ : QA = x : z

のとき、線分AP、BQ、CRはチェバの定理により一点Hで交わり、Hの位置ベクトルは

で表される。

外心の位置ベクトルを求めるために、位置ベクトルの性質1を利用します。

円周角の定理より、

∠AOC = 2∠ABC
∠BOA ＝ 2∠BCA
∠COB ＝ 2∠CAB

であり、外接円の半径をRとするとAO = BO = CO =Rなので

それぞれの面積は

です。

それぞれの面積比は

sin⁡ 2A : sin⁡ 2B : sin 2C

となりますから、位置ベクトルの性質1より、外心の位置ベクトルは

のように求まります。

続いて垂心の位置ベクトルを求めてみましょう。

三角形ABCの垂心をH、AHとBCの交点をP、BHとCAの交点をQ、CHとABの交点をRとします。
三角形APBと三角形APCは直角三角形ですから、

AP = BP tan⁡B = PC tan⁡C

となります。

これを比例式としてみると

BP : PC = tan⁡B : tan⁡C

です。

同様に

AR : RB = tan⁡B : tan⁡A
CQ : QA = tan⁡A : tan⁡C

ですから、位置ベクトルの性質2が適用できます。

よって垂心の位置ベクトルは

となります。

5.  「垂心とは何か？」のまとめ

最後までご覧くださってありがとうございました。
この記事では、三角形の三心と垂心についてまとめました。
ご参考になれば幸いです。

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