斜方投射をわかりやすく解説！運動方程式や例題も

斜方投射とは、物理で頻出の分野です。

受験においては空気抵抗を無視して、自由落下の一種とみなして計算します。

この記事で、しっかりモノにしておきましょう。

１．斜方投射とは？

斜方投射とは、「物体をある初速度をもって空中に投げ出したときの、物体の運動」のことです。

さらに、高校で習う斜方投射とは、自由落下の一種です。

※自由落下について復習したい方はこちら！

自由落下について軽く復習しましょう。

自由落下とは、「物体が空気の摩擦や抵抗の影響を受けずに、重力の働きだけによって落下する現象」です。

「自由落下」と聞いてまず思い浮かべるのは、「初速を付けずに、持っていた物体を単に落とす」運動だと思いますが、これは自由落下の一種に過ぎません。

自由落下全体の意味としては、単に「重力のみに従って動くような現象」です。

そのため、どのような初速をつけたとしても、結局は重力以外の力は物体に働いていませんので、「自由落下である」ということができます。

最初に申したように、斜方投射は、「物体をある初速度をもって空中に投げ出したときの、物体の運動」ですので、空気抵抗などの影響を考慮することもあります。

しかし、高校物理においては空気抵抗を無視するので、斜方投射と自由落下の違いはあまりありません。

2．斜方投射を解くのに重要な運動方程式！

斜方投射の問題を解くうえで大切なのは「運動方程式」です。

質量 m の物体について F のを加えたときの物体の加速度を a とすると

F=ma

が成り立ちます。

これを「運動方程式」と言います。

物理や数学で重要なのは、「公式を日本語で説明できること」です。
公式だけを必死で覚えても、問題を解くときに使えないので、実際の問題で利用するには「日本語で説明できるくらい」理解することが大切です。

運動方程式を日本語に直すとするなら「物体は力を加えると加速する」になります。
また、逆に言うと「力が加わらないと物体は加速しない」ということを表しています。

斜方投射の問題を解くうえで、この性質が非常に重要になります。

3.斜方投射の公式はこれだ！

斜方投射の問題を解くために必要な式は3つだけです。

ここで、t は時間、a は加速度、x は位置座標、x₀ 初期の位置座標、v は速度、v₀ は初速とします。

これらの公式を等加速度直線運動の公式、落体の公式などと呼ぶことがあります。

三番目の公式は、一番目の公式に二番目の公式を代入したものになっているので、いざとなったら試験会場で作ってしまいましょう。

余裕がなければ、一番目と二番目さえ覚えておけば問題ありません。

三番目の公式の作り方は、二番目の公式を t について整理し、一番目に代入するだけです。

一度計算してみてください。

4.斜方投射の例題を解こう

それでは、実際に斜方投射の例題を解いて解法を身に付けていきましょう！

斜方投射の問題

地上のある点から、時刻 t=0 において、水平方向と角度 θ をなす向きに小物体を投げる。ただし、小物体の質量を m 、小物体の初速を v₀ 、重力加速度を g とする。このとき、以下の問いに答えよ。

① 小物体が最高点に達したときの時刻 t₁ を求めよ。

② 小物体が最高点に達したときの速さ v₁ を求めよ。

③ 最高点の高さ h を求めよ。

④ 小物体が再び地面に達したときの時刻 t₂ と衝突する直前の小物体の速さ v₂ を求めよ

⑤ 時刻 t₂ における水平方向の飛行距離 L を求めよ。

⑥ 0°<θ<90°のとき L を最大にする角度 θ を求めよ。

（↓↓以下に解答と解説↓↓）

解答・解説

一つの小物体の斜方投射については、上の問題が解ければ概ね大丈夫でしょう。

具体的な数字が入る場合や、初期位置の高さが異なる場合などがありますが、基本的には変わりません。

水平方向の動きと、鉛直方向の動きをしっかり把握することが大切です。

より難しい問題のパターンは、小物体が2つ以上になる、などがありますが、考え方は変わりません。

まず、小物体が1つのときについて、しっかり押さえておきましょう。

① 斜方投射の問題では、鉛直方向と水平方向の動きを分けて考えます。

斜方投射の水平方向は、力が加わっていないため「等速直線運動」になります。

運動方程式を思い出してください。力が加わっていない物体は加速しないのでした。そのため、等速直線運動です。

斜方投射の鉛直方向は、「小物体を真上に投げたときの運動」と同じです。

鉛直方向には重力が常に加わっていますので、下向きに加速度 g の加速度運動になります。

なのでこれは、「自由落下」です。

物体を上に放り投げたら、最高点で一瞬静止してから落ちてきますよね。

「最高点」という単語が出てきたら、「鉛直方向の速度が0である」ことを意識しましょう。

v=v₀+at

の公式を利用して、それぞれの鉛直方向の成分を y、水平方向の成分を x の添え字を用いて表すことにすると、鉛直方向には

v_y=v_y0-gt₁

が成り立ちます。重力加速度が下方向に働いていることに注意してください。

ここで、鉛直方向の速度が0であることから v_y=0、初速が v₀ であることから、v_y0＝v₀sin⁡θ です。

0=v₀ sin⁡θ-gt₁

計算して

t₁＝(v₀ sin⁡θ)/g

② ①で「最高点における鉛直方向の速度は0である」ことを利用しました。

では、水平方向の速度はどうでしょうか。

水平方向は力が加わっていないため「等速直線運動」です。

その速度は、初速が v₀ であるため、v₀ cos⁡θ となります。

よって

となります。

③ 最高点の高さは、時刻 t₁ のときの高さのことです。

x=1/2 at²+v₀ t

の公式を用いて、

y=-1/2 gt₁²+v₀ sin⁡θ t₁

となります（x←y, a← -g, t←t₁, v₀←v₀ sin⁡θ というように代入します）。

ここでも、重力加速度が下向きに働いていることに注意してください。

①で求めた t₁＝(v₀ sin⁡θ)/g を代入して

が答えです。

※別解として

v²-v₀²=2a(x-x₀)

を利用する方法もあります。

この問題のように、「時間の情報が必要ないとき」にはこの公式が利用できます。

v_y²-v_y0²=2a_y (y-y₀ )

0²-(v₀ sin⁡θ )²=2(-g)(y-0)

y=(v₀² sin^2⁡θ)/2g

となり同じ答えが出てきます。

④ 小物体が再び地面に戻ってくるときの時刻を求めます。

地面に小物体があるということは、鉛直方向の高さが 0 であるということです。

y=-1/2 gt₂²+v₀ sin⁡θ t₂

y=0 となるような t₂ を求めます。

0=-1/2 gt₂²+v₀ sin⁡θ t₂

＝(-1/2 gt₂+v₀ sin⁡θ)t₂

t₂＝0,(2v₀ sin⁡θ)/g

です。t=0 は初期位置にいる時刻ですので、求める t₂ は

t₂＝(2v₀ sin⁡θ)/g

となります。

このときの速度を求めましょう。

水平方向の速度 v_x は相変わらず、v_x ＝v₀ cos⁡θ です。

鉛直方向の速度 v_y を求めましょう。

v_y=v_y0+a_y t₂

=v₀ sin⁡θ-g (2v₀ sin⁡θ)/g

=-v₀ sin⁡θ

よって

となります。

記述問題では、このようにしっかり回答を記述する必要がありますが、センター試験などのマーク問題では、④は計算する必要はありません。

というのは、「物体を投げたときには、投げた速度と同じ速度で返ってくる」からです。

また、「投げてから最高点に到達するのにかかる時間」と「最高点から元の高さに返ってくるのにかかる時間」は同じになります。

そのため、この問題を見た瞬間に

v₂=v0

を答えられるはずですし、①で求めた

t₁＝(v₀ sin⁡θ)/g

を二倍して

t₂＝(2v₀ sin⁡θ)/g

が求まります。

⑤ なんども繰り返しますが、「水平方向は等速直線運動」です。

v_x＝v₀ cos⁡θ で、t₂ だけ動きますので、

sin⁡2θ=2 sin⁡θ cos⁡θ より

です。

⑥ 0°<θ<90°から sin⁡2θ の最大値は、θ＝45°のときですので、このときにLが最大値をとります。

よって

θ＝45°

です。

斜方投射のまとめ

斜方投射は出題頻度が非常に高い問題ですが、パターン問題が多く、慣れると得点源になります。

しかも、利用する公式は2つないし3つのみ。

この記事の問題を、自分でしっかり解けるようになるまで、繰り返し解きましょう。

それができるようになれば、斜方投射の問題を見れば解き方が頭に浮かぶようになるはずです。