高校数学の10進法⇔n進法は意外と簡単!計算方法を解説!

数学 2019.9.19
高校数学の10進法⇔n進法は意外と簡単!計算方法を解説!

皆さんは「10進法」という言葉を聞いたことがあるでしょうか。
また、どのようなものか説明ができますか。

今回は10進法を軸に、高校数学で学ぶn進法について解説をしていきます。
このn進法問題ですが、実はとてもシンプルな考え方で行われており、一度理解してしまえば、間違えることはほとんど無くなります。

ただ、数字の羅列となるため、食わず嫌いが多い分野でもあると思います。
基本的な定義から説明していきますので、きちんと理解して得点源にしてくださいね!

    〈10進法とn進法の計算〉そもそも10進法って?

    それでは、10進法について説明していきましょう。

    10進法とは、記数法とよばれる数の表現方法のうち、10を底とする表記方法であり、
    簡単に言うと私たちが普段使っている数字の記載方法となります。
    …と言われてもさっぱりだと思いますので、もう少し詳しく解説します。

    まず、10進法とは「0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 …」 と数えていく方式のことです。
    普段の生活で用いている数え方のため、気にならなかったかもしれませんが、この数え方をよく見てみましょう。

    10進法で使われる数字は0、1、2、3、4、5、6、7、8、9までの10個の数字であり、これらを組み合わせることで数を表現しているのです。
    10進法で表記された数を10進数といいます。

    これを数学的な式で表すと、例えば10進数でいう百の位までの数はa×102+b×10+cabcと書きます。

    この中でa,b,cは0、1、2、3、4、5、6、7、8、9の10 個の数字のうちいずれかを使い、9の次に大きくなった場合は1つ上の桁に1を書いて10とします。

    10進数が定着した理由には諸説ありますが、一説によると「人間の指が両手で10本あるから」というものがあります。
    元々、数字は物を数えるために使われていました。そして、人間は手っ取り早く物を数えたい時、手の指を使います。
    私達も子供の頃はよくやったかもしれませんが、手で物を数えるときは両手の指10本を動かします。
    10本動かし終わったら、1つの単位と考え10で一区切りとします。

    昔の人もそのような形で物を数えていたため、10進数が定着したのではないでしょうか。

      〈10進法とn進法の計算〉n進数ってどんなもの?

      10進法、10進数について簡単に解説をしてきましたが、どんなものか漠然とイメージできましたか?
      続いて、10進数以外のn進数について解説していきます。

      2進法とは、0、1の2つの数字を使って数を表す方法のことで、この表記で記載された数を2進数と呼びます。
      10進法では「0、1、2、3、4、5、6、7、8、9」と10個の数字を使っていましたが、その半分以下の数字でも数は表現できるのです。
      10進法では、9を超える数の場合に位が上がっていましたが、2進数では1を超える数字から位が上がることになります。

      早見表は図の通りです。

      10進法2進法早見表

      2進数は日頃目にしないかもしれませんが、実は皆さんが普段使っている、スマホやタブレット、パソコン等のコンピュータの内部で使われています。これは、コンピュータがon=1、off=0の2進法の区別しかないためです。

      n進数について、実用的なものは主に10進数と2進数が例に挙げられることが多いですが、試験の問題としては他のn進数も出てくることがあります。しかし、基本的な考えは同じです。

      例えば、3進法はどのようなものでしょうか。
      3進法では、0、1、2の順に数字を使います。
      2の次は新しい数字は使わずに1つ上の桁に1を書きます。

      8進法も同様です。
      8進法では、0、1、2、3、4、5、6、7の順に数字を使います。
      7の次は新しい数字は使わずに1つ上の桁に1を書きます。

      このように、n進数はとても単純なルールで構成されているのです。
      ここまで記事を読んでみて、「ルールは分かったけど、どうやって問題を解けばいいんだ?」と思った方が多いかと思います。
      それでは次の項で、試験問題に頻出のn進法問題について説明をしていきます。

      〈10進法とn進法の計算〉これでマスター!n進法の変換方法

      ここでは、高校の試験問題で出題される、10進数からn進数への変換、またはn進数から10進数への変換について解説していきます。

       

      10進数からn進数への変換方法

      10進数からn進数に変換する手順は、実は簡単です。
      次の通り解いていけば必ず答えにたどりつけます。

      ・10進数をnで割っていく
      ・nで割った時の余りを記入する
      ・商と余りをつなぎ合わせる

       

      こちらを踏まえ、次の問題を解いてみましょう。

      【問題】 10進数で「24」という数があります。この数を2進数に変換してください。

       

       

       

      【解説】

      さきほど説明した方法で、2でひたすら割り算を行います。
      その際、余りを書いておくのを忘れないでください。

      2進法のやり方

      2で割れなくなるまで割ったら、次は2で割っていった商と余りの数を連結します。
      連結方法は上の計算結果の矢印のように、下から読んでいきます。
      ここは間違えやすいので、注意してください。
      連結すると、11000という数字になります。

      これで10進数の24の変換が完了しました。
      10進数の24は、2進数では11000となります。

       

      n進数から10進数への変換方法

      こちらは少し混乱するかもしれませんが、「10進法の式」というのを頭にいれておくと、問題が非常に解きやすくなるかと思います。

      まず、初めに解説した10進法での3桁の値を表す式を思い出してください。
      10進法でのabcは、a×100+b×10+cと表されます。
      記号だと分かりにくいので、「706」という数字について考えると、
      10進法の式では7×102+0×10+6 と表せます。

      実は、この10進法の式を使うことによって、n進法の数はすべて10進法に変換することができるのです。

      n進法での3桁の数を10進法で表す場合、式は次のようになります。
      a×n2+b×n+c
      10進法の式の10の部分をnに変えるだけでよいのです。
      あとは、桁数のぶんだけ式を準備してやりましょう。
      (例えば、5桁の数「abcde」を式で表すと
      a×n4+b×n3+c×n2+d×n+e
      となります。)

       

      この考えをもとに、次の問題を解いてみましょう。

      【問題】3進数で「1001」という数があります。この数を10進数に変換してください。

       

       

       

      【解説】

      3進数を10進数へ変換する式を使います。
      1×33+0×32+0×3+1 =28
      よって、3進数で「1001」は10進数で「28」となります。

        〈10進法とn進法の計算〉練習問題を解いてみよう!

        これまで学んだことを使って、次の問題を解いてみましょう。

        【問題】
        次の式の数は2進法で表現されています。
        それぞれを10進数に変換して計算した後、計算結果を2進数で答えてください。
        (10101)÷(11)

         

         

         

        【回答】

        まず、「11」と「10101」それぞれを10進数に変換します。
        「11」
        10進数への変換の式より、
        1×2+1= 3

        「10101」
        同様に、
        1×24+0×23+1×22+0×2+1 = 21

        つまり、10進数の式は
        21÷3 = 7
        となる。

        これを2進数に変換すると、
        7÷2=3 余り 1
        3÷2=1  余り 1
        1÷2=0 余り 1

        下から余りを連結すると、111
        よって答えは111となる。

          〈10進法とn進法の計算〉まとめ

          10進法について、基本的な考え方や定義、問題の解き方を解説をしてきましたが、まとめると以下のようになります。

          ①10進法とは「0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 …」 と数えていく方式のこと。
          ②10進法で使われる数字は0、1、2、3、4、5、6、7、8、9までの10個の数字であり、これらを組み合わせることで数を表現している。
          10進法で表記された数を10進数とよぶ。
          2進法とは、0、1の2つの数字を使って数を表そうという方法のことで、この表記で記載された数を2進数と呼ぶ。(他のn進数についても同様の考え方)

           

          【10進数からn進数への変換方法】

          ・10進数をnで割っていく
          ・nで割った時の余りを記入する
          ・商と余りをつなぎ合わせる

          【n進数から10進数への変換方法】

          ・「10進法への変換式」を用いる。
          (例えば、5桁の数「abcde」を式で表すと
          a×n4+b×n3+c×n2+d×n+e)

          この記事を一度読んだだけでも、n進法問題が単純なルールを理解すれば解けることが理解できるのではないでしょうか。
          一度身につけてしまえば、ほとんどミスをすることは無くなると思います。
          あとは復習やテスト前の確認などに、是非この記事を活用してくださいね!

          アンケートにご協力ください!【外部検定利用入試に関するアンケート】

          ※アンケート実施期間:2021年1月13日~

          受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、中高生の学習事情についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から10名様に500円分の図書カードをプレゼントいたします。


          アンケートに答える


          受験生の勉強に役立つLINEスタンプ発売中!

          受験生が使いやすい「受験のミカタ」勉強LINEスタンプ販売中!


          最新情報を受け取ろう!

          プッシュ通知を許可する

          受験のミカタから最新の受験情報を配信中!

          この記事の執筆者

          ニックネーム:受験のミカタ編集部

          「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している「受験応援メディア」です。