高校数学の10進法⇔n進法は意外と簡単!計算方法を解説!

数学 2019.9.19

皆さんは「10進法」という言葉を聞いたことがあるでしょうか。
また、どのようなものか説明ができますか。

今回は10進法を軸に、高校数学で学ぶn進法について解説をしていきます。
このn進法問題ですが、実はとてもシンプルな考え方で行われており、一度理解してしまえば、間違えることはほとんど無くなります。

ただ、数字の羅列となるため、食わず嫌いが多い分野でもあると思います。
基本的な定義から説明していきますので、きちんと理解して得点源にしてくださいね!

〈10進法とn進法の計算〉そもそも10進法って?

それでは、10進法について説明していきましょう。

10進法とは、記数法とよばれる数の表現方法のうち、10を底とする表記方法であり、
簡単に言うと私たちが普段使っている数字の記載方法となります。
…と言われてもさっぱりだと思いますので、もう少し詳しく解説します。

まず、10進法とは「0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 …」 と数えていく方式のことです。
普段の生活で用いている数え方のため、気にならなかったかもしれませんが、この数え方をよく見てみましょう。

10進法で使われる数字は0、1、2、3、4、5、6、7、8、9までの10個の数字であり、これらを組み合わせることで数を表現しているのです。
10進法で表記された数を10進数といいます。

これを数学的な式で表すと、例えば10進数でいう百の位までの数はa×102+b×10+cabcと書きます。

この中でa,b,cは0、1、2、3、4、5、6、7、8、9の10 個の数字のうちいずれかを使い、9の次に大きくなった場合は1つ上の桁に1を書いて10とします。

10進数が定着した理由には諸説ありますが、一説によると「人間の指が両手で10本あるから」というものがあります。
元々、数字は物を数えるために使われていました。そして、人間は手っ取り早く物を数えたい時、手の指を使います。
私達も子供の頃はよくやったかもしれませんが、手で物を数えるときは両手の指10本を動かします。
10本動かし終わったら、1つの単位と考え10で一区切りとします。

昔の人もそのような形で物を数えていたため、10進数が定着したのではないでしょうか。

〈10進法とn進法の計算〉n進数ってどんなもの?

10進法、10進数について簡単に解説をしてきましたが、どんなものか漠然とイメージできましたか?
続いて、10進数以外のn進数について解説していきます。

2進法とは、0、1の2つの数字を使って数を表す方法のことで、この表記で記載された数を2進数と呼びます。
10進法では「0、1、2、3、4、5、6、7、8、9」と10個の数字を使っていましたが、その半分以下の数字でも数は表現できるのです。
10進法では、9を超える数の場合に位が上がっていましたが、2進数では1を超える数字から位が上がることになります。

早見表は図の通りです。

10進法2進法早見表

2進数は日頃目にしないかもしれませんが、実は皆さんが普段使っている、スマホやタブレット、パソコン等のコンピュータの内部で使われています。これは、コンピュータがon=1、off=0の2進法の区別しかないためです。

n進数について、実用的なものは主に10進数と2進数が例に挙げられることが多いですが、試験の問題としては他のn進数も出てくることがあります。しかし、基本的な考えは同じです。

例えば、3進法はどのようなものでしょうか。
3進法では、0、1、2の順に数字を使います。
2の次は新しい数字は使わずに1つ上の桁に1を書きます。

8進法も同様です。
8進法では、0、1、2、3、4、5、6、7の順に数字を使います。
7の次は新しい数字は使わずに1つ上の桁に1を書きます。

このように、n進数はとても単純なルールで構成されているのです。
ここまで記事を読んでみて、「ルールは分かったけど、どうやって問題を解けばいいんだ?」と思った方が多いかと思います。
それでは次の項で、試験問題に頻出のn進法問題について説明をしていきます。

〈10進法とn進法の計算〉これでマスター!n進法の変換方法

ここでは、高校の試験問題で出題される、10進数からn進数への変換、またはn進数から10進数への変換について解説していきます。

 

10進数からn進数への変換方法

10進数からn進数に変換する手順は、実は簡単です。
次の通り解いていけば必ず答えにたどりつけます。

・10進数をnで割っていく
・nで割った時の余りを記入する
・商と余りをつなぎ合わせる

 

こちらを踏まえ、次の問題を解いてみましょう。

【問題】 10進数で「24」という数があります。この数を2進数に変換してください。

 

 

 

【解説】

さきほど説明した方法で、2でひたすら割り算を行います。
その際、余りを書いておくのを忘れないでください。

2進法のやり方

2で割れなくなるまで割ったら、次は2で割っていった商と余りの数を連結します。
連結方法は上の計算結果の矢印のように、下から読んでいきます。
ここは間違えやすいので、注意してください。
連結すると、11000という数字になります。

これで10進数の24の変換が完了しました。
10進数の24は、2進数では11000となります。

 

n進数から10進数への変換方法

こちらは少し混乱するかもしれませんが、「10進法の式」というのを頭にいれておくと、問題が非常に解きやすくなるかと思います。

まず、初めに解説した10進法での3桁の値を表す式を思い出してください。
10進法でのabcは、a×102+b×10+cと表されます。
記号だと分かりにくいので、「706」という数字について考えると、
10進法の式では7×102+0×10+6 と表せます。

実は、この10進法の式を使うことによって、n進法の数はすべて10進法に変換することができるのです。

n進法での3桁の数を10進法で表す場合、式は次のようになります。
a×n2+b×n+c
10進法の式の10の部分をnに変えるだけでよいのです。
あとは、桁数のぶんだけ式を準備してやりましょう。
(例えば、5桁の数「abcde」を式で表すと
a×n4+b×n3+c×n2+d×n+e
となります。)

 

この考えをもとに、次の問題を解いてみましょう。

【問題】3進数で「1001」という数があります。この数を10進数に変換してください。

 

 

 

【解説】

3進数を10進数へ変換する式を使います。
1×33+0×32+0×3+1 =28
よって、3進数で「1001」は10進数で「28」となります。

〈10進法とn進法の計算〉練習問題を解いてみよう!

これまで学んだことを使って、次の問題を解いてみましょう。

【問題】
次の式の数は2進法で表現されています。
それぞれを10進数に変換して計算した後、計算結果を2進数で答えてください。
(10101)÷(11)

 

 

 

【回答】

まず、「11」と「10101」それぞれを10進数に変換します。
「11」
10進数への変換の式より、
1×2+1= 3

「10101」
同様に、
1×24+0×23+1×22+0×2+1 = 21

つまり、10進数の式は
21÷3 = 7
となる。

これを2進数に変換すると、
7÷2=3 余り 1
3÷2=1  余り 1
1÷2=0 余り 1

下から余りを連結すると、111
よって答えは111となる。

〈10進法とn進法の計算〉まとめ

10進法について、基本的な考え方や定義、問題の解き方を解説をしてきましたが、まとめると以下のようになります。

①10進法とは「0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 …」 と数えていく方式のこと。
②10進法で使われる数字は0、1、2、3、4、5、6、7、8、9までの10個の数字であり、これらを組み合わせることで数を表現している。
10進法で表記された数を10進数とよぶ。
2進法とは、0、1の2つの数字を使って数を表そうという方法のことで、この表記で記載された数を2進数と呼ぶ。(他のn進数についても同様の考え方)

 

【10進数からn進数への変換方法】

・10進数をnで割っていく
・nで割った時の余りを記入する
・商と余りをつなぎ合わせる

【n進数から10進数への変換方法】

・「10進法への変換式」を用いる。
(例えば、5桁の数「abcde」を式で表すと
a×n4+b×n3+c×n2+d×n+e)

この記事を一度読んだだけでも、n進法問題が単純なルールを理解すれば解けることが理解できるのではないでしょうか。
一度身につけてしまえば、ほとんどミスをすることは無くなると思います。
あとは復習やテスト前の確認などに、是非この記事を活用してくださいね!

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この記事の執筆者

ニックネーム:受験のミカタ編集部

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