約数の個数の求め方!素因数分解すれば一発で求まる!

数学 2016.11.18

約数の個数の求め方(公式)について、数学が苦手な人でも理解できるように、現役の早稲田生が丁寧に解説します。

この記事を読めば約数の個数の求め方が理解できるでしょう。

また、最後には約数の個数を求める練習問題を用意しています。

ぜひ最後まで読んで、約数の個数の求め方(公式)を理解してください!

約数の個数の求め方と一緒に、約数の総和の求め方についても学習するのがオススメです。ぜひ約数の総和の求め方について解説した記事もご覧ください。

【目次】

1:約数の個数の求め方(公式)

2:約数の個数の求め方(証明)

3:約数の個数の求め方(具体例)

4:約数の個数についての練習問題

 

1:約数の個数の求め方(公式)

この章では、約数の個数の求め方(公式)を解説していきます。

例えば、自然数Mの約数の個数を求めるためには、まず、自然数Mを素因数分解します。

※素因数分解のやり方がわからない人は、素因数分解について解説した記事をご覧ください。

そして、

M = ax・by・cz

という形に素因数分解できたとしましょう。

すると、自然数Mの約数の個数は、

(x+1)・(y+1)・(z+1)

となります。

約数の個数の求め方解説画像

以上が約数の個数を求める方法(公式)です。

次の章では、なぜ上記のようにして約数の個数を求めることができるのか?について解説していきます。

 

2:約数の個数の求め方(証明)

自然数Mが、

M = ax・by・cz

素因数分解できるとき、なぜ自然数Mの約数の個数は、

(x+1)・(y+1)・(z+1)

と求めることができるのでしょうか?

例えば、12という自然数で考えてみましょう。

12を素因数分解すると、

12 = 22・31

ですね。

※約数の個数を求めるときは、必ず「1乗」も書きましょう!

すると、

2の取り出し方は、20〜22の3通り

3の取り出し方は、30〜31の2通りあるので、

その組み合わせを考えると、

3・2=6通りですね。

※12の約数は、「1、2、3、4、6、12」なので、ちゃんと6個になっています。

12の約数の求め方の解説

よって、自然数Mが

M = ax・by・cz

素因数分解できるとき、自然数Mの約数の個数は、

(x+1)・(y+1)・(z+1)となります。

 

3:約数の個数の求め方(具体例)

では、具体例で約数の個数を求めてみましょう!

例1

140の約数の個数を求めよ。

【解答&解説】

まずは140を素因数分解します。

すると、

140 = 22・51・71

ですね。分かりやすいように、「1乗」も書いておきましょう!

すると、140の約数の個数は、それぞれの「〜乗」に1を足して掛け合わせれば良いので、

(2+1)・(1+1)・(1+1)

= 3・2・2

= 12(個)・・・(答)

となります。

約数の個数の求め方解説画像

簡単ですよね?もう一つ例題を解いてみましょう。

 

例2

360の約数の個数を求めよ。

【解答&解説】

まずは360を素因数分解します。

360 = 22・32・51

ですね。

分かりやすいように「1乗」も書くことも忘れないでください。

よって、求める約数の個数は、それぞれの「〜乗」に1を足して掛け合わせて、

(2+1)・(2+1)・(1+1)

= 3・3・2

= 18(個)・・・(答)

となります。

約数の個数の求め方解説画像

いかがですか?もうこれで約数の個数はスラスラ求められそうですよね?

次の章では、約数の個数に関する練習問題を用意しました。ぜひ自力で解いてみてください!

 

4:約数の個数についての練習問題

では、約数の個数についての練習問題を解いてみましょう!

練習問題

2016の約数の個数を求めよ。

 

解答&解説

2016を素因数分解すると、

2016 = 25・32・71

より、それぞれの「〜乗」に1を足して掛け合わせて、

(5+1)・(2+1)・(1+1)

= 6・3・2

= 36(個)・・・(答)

となります。

約数の個数の求め方解説画像

いかがでしたか?

約数の個数の求め方(公式)についての解説は以上になります。

約数の個数を求める問題は定期試験などでもよく出題されるので、必ずできるようになっておきましょう!

約数の個数の求め方を忘れたときは、またこの記事を読み返してください。


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