約数の個数の求め方!素因数分解すれば一発で求まる!

数学 2016.11.18
約数の個数の求め方!素因数分解すれば一発で求まる!

約数の個数の求め方(公式)について、数学が苦手な人でも理解できるように、現役の早稲田生が丁寧に解説します。

この記事を読めば約数の個数の求め方が理解できるでしょう。

また、最後には約数の個数を求める練習問題を用意しています。

ぜひ最後まで読んで、約数の個数の求め方(公式)を理解してください!

約数の個数の求め方と一緒に、約数の総和の求め方についても学習するのがオススメです。ぜひ約数の総和の求め方について解説した記事もご覧ください。

 

    1:約数の個数の求め方(公式)

    この章では、約数の個数の求め方(公式)を解説していきます。

    例えば、自然数Mの約数の個数を求めるためには、まず、自然数Mを素因数分解します。

    ※素因数分解のやり方がわからない人は、素因数分解について解説した記事をご覧ください。

    そして、

    M = ax・by・cz

    という形に素因数分解できたとしましょう。
    すると、自然数Mの約数の個数は、

    (x+1)・(y+1)・(z+1)

    となります。

    約数の個数の求め方解説画像

    以上が約数の個数を求める方法(公式)です。

    次の章では、なぜ上記のようにして約数の個数を求めることができるのか?について解説していきます。

     

      2:約数の個数の求め方(証明)

      自然数Mが、

      M = ax・by・cz

      素因数分解できるとき、なぜ自然数Mの約数の個数は、

      (x+1)・(y+1)・(z+1)

      と求めることができるのでしょうか?

      例えば、12という自然数で考えてみましょう。

      12を素因数分解すると、

      12 = 22・31

      ですね。

      ※約数の個数を求めるときは、必ず「1乗」も書きましょう!

      すると、

      2の取り出し方は、20〜22の3通り

      3の取り出し方は、30〜31の2通りあるので、

      その組み合わせを考えると、

      3・2=6通りですね。

      ※12の約数は、「1、2、3、4、6、12」なので、ちゃんと6個になっています。

      12の約数の求め方の解説

      よって、自然数Mが

      M = ax・by・cz

      素因数分解できるとき、自然数Mの約数の個数は、

      (x+1)・(y+1)・(z+1)となります。

       

      3:約数の個数の求め方(具体例)

      では、具体例で約数の個数を求めてみましょう!

      例1

      140の約数の個数を求めよ。

      ※以下に解答と解説↓

       

       

       

       

      解答&解説

      まずは140を素因数分解します。

      すると、

      140 = 22・51・71

      ですね。分かりやすいように、「1乗」も書いておきましょう!

      すると、140の約数の個数は、それぞれの「〜乗」に1を足して掛け合わせれば良いので、

      (2+1)・(1+1)・(1+1)

      = 3・2・2

      = 12(個)・・・(答)

      となります。

      約数の個数の求め方解説画像

      簡単ですよね?もう一つ例題を解いてみましょう。

       

      例2

      360の約数の個数を求めよ。

      ※以下に解答と解説↓

       

       

       

       

      解答&解説

      まずは360を素因数分解します。

      360 = 2・32・51

      ですね。

      分かりやすいように「1乗」も書くことも忘れないでください。

      よって、求める約数の個数は、それぞれの「〜乗」に1を足して掛け合わせて、

      (3+1)・(2+1)・(1+1)

      = 4・3・2

      = 24(個)・・・(答)

      となります。

      約数の個数の求め方!素因数分解すれば一発で求まる!

       

       

      いかがですか?もうこれで約数の個数はスラスラ求められそうですよね?

      次の章では、約数の個数に関する練習問題を用意しました。ぜひ自力で解いてみてください!

       

        4:約数の個数についての練習問題

        では、約数の個数についての練習問題を解いてみましょう!

        練習問題

        2016の約数の個数を求めよ。

        ※以下に解答と解説↓

         

         

         

         

        解答&解説

        2016を素因数分解すると、

        2016 = 25・32・71

        より、それぞれの「〜乗」に1を足して掛け合わせて、

        (5+1)・(2+1)・(1+1)

        = 6・3・2

        = 36(個)・・・(答)

        となります。

        約数の個数の求め方解説画像

          約数の個数の求め方のまとめ

          約数の個数の求め方(公式)についての解説は以上になります。

          約数の個数を求める問題は定期試験などでもよく出題されるので、必ずできるようになっておきましょう!

          約数の個数の求め方を忘れたときは、またこの記事を読み返してください。

          記事の内容でわからないところ、質問などあればこちらからお気軽にご質問ください。

          中の人がお答えします。

          アンケートにご協力ください!【外部検定利用入試に関するアンケート】

          ※アンケート実施期間:2021年1月13日~

          受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、中高生の学習事情についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から10名様に500円分の図書カードをプレゼントいたします。


          アンケートに答える


          受験生の勉強に役立つLINEスタンプ発売中!

          受験生が使いやすい「受験のミカタ」勉強LINEスタンプ販売中!


          最新情報を受け取ろう!

          プッシュ通知を許可する

          受験のミカタから最新の受験情報を配信中!

          この記事の執筆者

          ニックネーム:やっすん

          早稲田大学商学部4年
          得意科目:数学