約数の個数の求め方！素因数分解すれば一発で求まる！

約数の個数の求め方（公式）について、数学が苦手な人でも理解できるように、現役の早稲田生が丁寧に解説します。

この記事を読めば約数の個数の求め方が理解できるでしょう。

また、最後には約数の個数を求める練習問題を用意しています。

ぜひ最後まで読んで、約数の個数の求め方（公式）を理解してください！

※約数の個数の求め方と一緒に、約数の総和の求め方についても学習するのがオススメです。ぜひ約数の総和の求め方について解説した記事もご覧ください。

 

1：約数の個数の求め方（公式）

この章では、約数の個数の求め方（公式）を解説していきます。

例えば、自然数Mの約数の個数を求めるためには、まず、自然数Mを素因数分解します。

※素因数分解のやり方がわからない人は、素因数分解について解説した記事をご覧ください。

そして、

M = a^x・b^y・c^z

という形に素因数分解できたとしましょう。
すると、自然数Mの約数の個数は、

(x+1)・(y+1)・(z+1)

となります。

以上が約数の個数を求める方法（公式）です。

次の章では、なぜ上記のようにして約数の個数を求めることができるのか？について解説していきます。

 

2：約数の個数の求め方（証明）

自然数Mが、

M = a^x・b^y・c^z

と素因数分解できるとき、なぜ自然数Mの約数の個数は、

（x+1）・（y+1）・（z+1）

と求めることができるのでしょうか？

例えば、12という自然数で考えてみましょう。

12を素因数分解すると、

12 = 2²・3¹

ですね。

※約数の個数を求めるときは、必ず「１乗」も書きましょう！

すると、

2の取り出し方は、2⁰〜2²の３通り

3の取り出し方は、3⁰〜3¹の２通りあるので、

その組み合わせを考えると、

3・２=６通りですね。

※12の約数は、「1、2、3、4、6、12」なので、ちゃんと６個になっています。

よって、自然数Mが

M = a^x・b^y・c^z

と素因数分解できるとき、自然数Mの約数の個数は、

（x+1）・（y+1）・（z+1）となります。

 

３：約数の個数の求め方（具体例）

では、具体例で約数の個数を求めてみましょう！

例１

140の約数の個数を求めよ。

※以下に解答と解説↓

 

 

 

 

解答＆解説

まずは140を素因数分解します。

すると、

140 = 2²・5¹・7¹

ですね。分かりやすいように、「１乗」も書いておきましょう！

すると、140の約数の個数は、それぞれの「〜乗」に１を足して掛け合わせれば良いので、

（2+1）・（1+1）・（1+1）

= 3・2・2

= 12（個）・・・（答）

となります。

簡単ですよね？もう一つ例題を解いてみましょう。

 

例２

360の約数の個数を求めよ。

※以下に解答と解説↓

 

 

 

 

解答＆解説

まずは360を素因数分解します。

360 = 2^３・3²・5¹

ですね。

分かりやすいように「１乗」も書くことも忘れないでください。

よって、求める約数の個数は、それぞれの「〜乗」に１を足して掛け合わせて、

（3+1）・（2+1）・（1+1）

= ４・3・2

= 24（個）・・・（答）

となります。

 

 

いかがですか？もうこれで約数の個数はスラスラ求められそうですよね？

次の章では、約数の個数に関する練習問題を用意しました。ぜひ自力で解いてみてください！

 

４：約数の個数についての練習問題

では、約数の個数についての練習問題を解いてみましょう！

練習問題

2016の約数の個数を求めよ。

※以下に解答と解説↓

 

 

 

 

解答＆解説

2016を素因数分解すると、

2016 = 2⁵・3²・7¹

より、それぞれの「〜乗」に１を足して掛け合わせて、

（5+1）・（2+1）・（1+1）

= 6・3・2

= 36（個）・・・（答）

となります。

約数の個数の求め方のまとめ

約数の個数の求め方（公式）についての解説は以上になります。

約数の個数を求める問題は定期試験などでもよく出題されるので、必ずできるようになっておきましょう！

約数の個数の求め方を忘れたときは、またこの記事を読み返してください。

この記事の執筆者

ニックネーム：やっすん

早稲田大学商学部4年
得意科目：数学