約数の個数の求め方!素因数分解すれば一発で求まる!

約数の個数の求め方(公式)について、数学が苦手な人でも理解できるように、現役の早稲田生が丁寧に解説します。
この記事を読めば約数の個数の求め方が理解できるでしょう。
また、最後には約数の個数を求める練習問題を用意しています。
ぜひ最後まで読んで、約数の個数の求め方(公式)を理解してください!
※約数の個数の求め方と一緒に、約数の総和の求め方についても学習するのがオススメです。ぜひ約数の総和の求め方について解説した記事もご覧ください。
1:約数の個数の求め方(公式)
この章では、約数の個数の求め方(公式)を解説していきます。
例えば、自然数Mの約数の個数を求めるためには、まず、自然数Mを素因数分解します。
※素因数分解のやり方がわからない人は、素因数分解について解説した記事をご覧ください。
そして、
M = ax・by・cz
という形に素因数分解できたとしましょう。
すると、自然数Mの約数の個数は、
(x+1)・(y+1)・(z+1)
となります。
以上が約数の個数を求める方法(公式)です。
次の章では、なぜ上記のようにして約数の個数を求めることができるのか?について解説していきます。
2:約数の個数の求め方(証明)
自然数Mが、
M = ax・by・cz
と素因数分解できるとき、なぜ自然数Mの約数の個数は、
(x+1)・(y+1)・(z+1)
と求めることができるのでしょうか?
例えば、12という自然数で考えてみましょう。
12を素因数分解すると、
12 = 22・31
ですね。
※約数の個数を求めるときは、必ず「1乗」も書きましょう!
すると、
2の取り出し方は、20〜22の3通り
3の取り出し方は、30〜31の2通りあるので、
その組み合わせを考えると、
3・2=6通りですね。
※12の約数は、「1、2、3、4、6、12」なので、ちゃんと6個になっています。
よって、自然数Mが
M = ax・by・cz
と素因数分解できるとき、自然数Mの約数の個数は、
(x+1)・(y+1)・(z+1)となります。
3:約数の個数の求め方(具体例)
では、具体例で約数の個数を求めてみましょう!
例1
140の約数の個数を求めよ。
※以下に解答と解説↓
解答&解説
まずは140を素因数分解します。
すると、
140 = 22・51・71
ですね。分かりやすいように、「1乗」も書いておきましょう!
すると、140の約数の個数は、それぞれの「〜乗」に1を足して掛け合わせれば良いので、
(2+1)・(1+1)・(1+1)
= 3・2・2
= 12(個)・・・(答)
となります。
簡単ですよね?もう一つ例題を解いてみましょう。
例2
360の約数の個数を求めよ。
※以下に解答と解説↓
解答&解説
まずは360を素因数分解します。
360 = 23・32・51
ですね。
分かりやすいように「1乗」も書くことも忘れないでください。
よって、求める約数の個数は、それぞれの「〜乗」に1を足して掛け合わせて、
(3+1)・(2+1)・(1+1)
= 4・3・2
= 24(個)・・・(答)
となります。
いかがですか?もうこれで約数の個数はスラスラ求められそうですよね?
次の章では、約数の個数に関する練習問題を用意しました。ぜひ自力で解いてみてください!
4:約数の個数についての練習問題
では、約数の個数についての練習問題を解いてみましょう!
練習問題
2016の約数の個数を求めよ。
※以下に解答と解説↓
解答&解説
2016を素因数分解すると、
2016 = 25・32・71
より、それぞれの「〜乗」に1を足して掛け合わせて、
(5+1)・(2+1)・(1+1)
= 6・3・2
= 36(個)・・・(答)
となります。
約数の個数の求め方のまとめ
約数の個数の求め方(公式)についての解説は以上になります。
約数の個数を求める問題は定期試験などでもよく出題されるので、必ずできるようになっておきましょう!
約数の個数の求め方を忘れたときは、またこの記事を読み返してください。