【微分積分】微分のまとめ(公式・定義・導関数・問題)

数学 2015.10.16
【微分積分】微分のまとめ(公式・定義・導関数・問題)

微分はセンター試験はもちろんのこと、大学入試でも、毎年出題されるといっていいでしょう。そのくらい超重要な分野です。

以下の表を見てください。センター試験では3年連続、早慶でもかなり出題頻度が高いですね。

年表

今回は、微分のまとめ(微分の基礎、接線の方程式、増減表、極大・極小)をくまなく、とてもわかりやすくまとめました

微分や数学そのものが苦手な人はぜひ読んでみてください!!

 

    1.微分の基礎

    まずは、微分の定義からおさらいしましょう。

    f'(a)定義②

     

    y=f(x)を微分するとは、「y=f(x)のとあるX座標a(固定)において、X座標上を動くbが限りなくaに近づいたときのf(x)の値を求めること

    と言えるのでした。グラフでイメージしてみましょう。

    変化グラフ

    また、この状態を、f´(a)はy=f(x)のx=aにおける微分係数である。」とも言えるのでした。

     

    次に、導関数についてです。

    例えば、y=f(x)という関数があったとします。この関数を微分すると、f´(x)という関数が得られますよね。このf´(x)のことを導関数と呼んでいるのでした。

    つまり、「y=f(x)の導関数を求めよ」と「y=f(x)を微分せよ」は同じ意味だったということはしっかり頭に入れておきましょう!

    また、導関数を求めるときに、毎回微分の定義に従って計算するのは非常に面倒なので、それを省くために、楽な公式のようなものもありましたね。

    復習しておきましょう!

    導関数②

     

     

    微分の基礎について詳しくまとめたものはこちらをご覧ください。

    リンク画像1

     

      2.接線の方程式

      接線の方程式を求めるときには、必ず使う超重要な公式が2つありました。

      修正

      公式

       

       

      接線の傾きと、どの点を通るかが分かれば、接線の方程式は求められるのでした。

      (例えば、傾きが5で、点(2 , 20)を通る直線の式はy-20=5(x-2)で求められますよね。)

      なので、この2つを手がかりに解答を導いていくのが定石です!

       

      接線の方程式について詳しくまとめたものはこちらをご覧ください。

      リンク画像2

      3.増減表、極大・極小

      関数の増減に関する基本的な事項は次の通りでした。

      増減

      ※「単調」とは、「ずっと」という意味でした。つまり、「単調に増加する」なら、「途中で減少したりせず、ずっと増加する」という意味でした。

       

      そして、どの地点で増減が変化するのかなどを増減表というのにまとめることができるのでした。

      増減表の例

       

      また、f´(x)の符号が正から負に変化するとき、f(a)は極大値(この表では27)

      f´(x)の符号が負から正に変化するとき、f(a)は極小値(この表では-5)であるというのでした。

      (極大値と極小値をまとめて極値というのも忘れずに!)

       

      関数の増減、極大・極小について詳しくまとめたものはこちらをご覧ください。

      333

       

        4.練習問題

        最後に、微分の総まとめとして、練習問題をやってみましょう!(詳しい解答&解説付きです。)

        [問題]

        y=x3+3x2+1 (-1≦x≦2) の最大値と最小値を求めよ。また、そのときのxの値も求めよ。

         

         

        以下から解答&解説です。分からなかった人はよく読んで理解してください。

        [解答&解説]

        まずはyを微分しましょう。

        y´=3x2+6x です。

        y´=0となるときを考えると、3x2+6x=0より、3x(x+2)=0なので、

        x=-2 , 0のときにy´=0となります。

        ここで、増減表を書くときの注意です。問題文より、xの範囲は-1から2まででした。なので、x=-2は範囲外ということになりますので、増減表には記入しなくて良いです。

        一方、x=0は範囲内なので、増減表には記入しましょう。この点に注意しながら増減表を書くと、以下のようになります。

        まとめ練習

         

        この増減表を見れば、どこが最大値でどこが最小値か一目瞭然です。

        問題には関係ありませんが、一応グラフも書いてみましょう。

        練習問題グラフ

         

        グラフでも、どこが最大値でどこが最小値か一目瞭然ですね。

        また、極大値と最大値、極小値と最小値は必ずしも一致しないという点にはくれぐれも注意してください。

        ちゃんと増減表を書いて検証することが大切です。

        よって答えは、

        x=2のとき、最大値21 , x=0のとき、最小値1

        となります。

         

          まとめ

          いかがでしたでしょうか?何度も言いますが、微分はセンター試験、大学入試で必ず出題されます!!

          これを機に微分の基礎は完全にマスターしてして、得点に結び付けていけるように頑張りましょう!

           

           

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          この記事の執筆者

          ニックネーム:やっすん

          早稲田大学商学部4年
          得意科目:数学