【三次方程式】 微分を用いた解の公式と求め方について

数学 2018.11.16

三次方程式は大学入試の明暗を分ける重要分野です!!

三次方程式は一見難しそうに見えますが、高校の定期テストや大学受験に出題される問題は、ほぼ全て解が導き出せるように作られています。今回は因数定理の方法と、解と係数を用いた検算について分かりやすく解説します。

1.三次方程式とは?

三次方程式とは、次数が3である代数の方程式です。
一般的には、

ax3+bx2+cx+d=0

と表記されます。現代では主に代数を使った解法が、三次方程式の解として使われています。

代数的な解法として有名なのが、カルダノの公式でしょう。ここでは扱いやすい因数定理を使った解法を紹介していきます。

 

2.三次方程式の解法:因数定理

三次方程式の基本的な式を使って解き方の流れを見ていきましょう。
ここで使われている係数は整数として考えてください。
例えば

f(x)=ax3+bx2+cx+d

としましょう。

すると解法は、

① f(x0)=0となる有理数x0を見つける
② 因数定理を用いてf(x)=(x- x0)q(x)という形にする
③ q(x)の因数分解が可能なら、q(x)=(x- x1)( x- x2)という形にする
④ f(x)= (x- x0) (x- x1)( x- x2)=0の解はx= x0, x1,x2

となります。

 

3.三次方程式の例題

x3-2x2-x+2=0という式を用いて実際に解いてみましょう。

①まず最初に、この式を満たす有理数の解を1つ探しましょう。

方程式ax3+bx2+cx+d=0の有理数解は下記のようになります(これは便利なのでぜひ覚えましょう)。

この定式に当てはめると、a=1、d=2なので、±1と±2が候補です。この例題の場合ですと、x=2を代入すると式が成立します。実際に代入してみるとf(1)=2^3-2・2^2-2+2=8-8-2+2=0となります。

 

②次に因数定理より、この三次方程式はx-2でくくることが出来ます。

因数定理とは多項式であるf(x)という式で、f(a)=0をみたすx=aが存在するのであれば、f(x)は(x-a)で割り切れる定理のことです。

(※因数定理についての記事はこちら

すると、f(x) =(x-2)q(x)という式に変換できます。今回はq(x)を筆算で求めてみましょう。

よって、q(x)= (x2-1)となります。

 

③q(x)を因数分解するとq(x)=(x2-1)=(x-1)(x+1)となります。

 

④f(x)= (x-2)(x-1)(x+1)なのでf(x)=0となるのはx=2,1,-1なので、これが解答となります。

以上が、三次方程式の解き方の流れです。

 

4.三次方程式:解と係数の関係

大学受験における数学では、解と係数の関係を理解していると、計算ミスを減らすことができます。必ずしも出題されるわけではありませんが、知っておくと便利ですのでしっかりマスターしておきましょう。

解と係数の関係で最も代表的なのが因数定理です。これを三次方程式にあてはめて考えていきましょう。

例題となる式は、

ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)

とします。

 

①この方程式の解がα、β、γだと仮定してください。

 

②因数定理を考えると、ax3+bx2+cx+dの式は、(x-α)と(x-β)と(x-γ)の3つで割り切れます。

ax3+bx2+cx+d=a(x-α)(x-β)(x-γ)

と変形して計算すると、

a{x3-(α+β+γ)x2+(αβ+βγ+γα)x-αβγ}

=ax3-a(α+β+γ)x2+a(αβ+βγ+γα)x-aαβγ

となります。

つまり、

ax3+bx2+cx+d=ax3-a(α+β+γ)x2+a(αβ+βγ+γα)x-aαβγ

 

ここで、この式が恒等式になっている、という事に気付けるかどうかが大きなポイントになります。

(※恒等式に関する記事についてはこちら

 

③両辺における係数を見比べます。b = -a(α+β+γ)c = a(αβ+βγ+γα)d = -aαβγ上記の形ですね。

 

④これを変形するとα+β+γ=-b/aαβ+βγ+γα=c/aαβγ=-d/aとなります。

これを三次関数の解と係数の関係と言います。

(※二次方程式の解と係数の関係に関する記事はこちら

この解と係数の関係を知っておくと、三次方程式を解く時にとても便利です。

 

⑤では、先ほどの例題の解をそれぞれα=2, β=1, γ=-1として検算してみましょう。

まず、方程式よりa=1となることが明らかです。

また、

-b=α+β+γ
=2+1+(-1)
=2⇔b=-2c
=αβ+βγ+γα
=2・1+1・(-1)+(-1)・2
=-1-d=2・1・(-1)
=-2⇔d=2

となるので、これを満たす方程式は、

ax3+bx2+cx+d= x3-2x2-x+2=0

となり、例題と一致するので解は正しいと言うことができます。

 

5.三次方程式:まとめ

最後まで読んで下さりありがとうございます。この記事では、三次関数について解説しました。

難しそうに見える三次方程式でも、一つ解を見つけてしまえば容易に求めることが出来ます。

さらに今回紹介した有理数解の求め方を用いれば、ある程度見当がつくので今まで適当に値を代入していた方も時間短縮につながります。
三次方程式は繰り返し問題に触れ、形式に慣れることが大切です。頑張ってください!

 


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この記事の執筆者

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