微分係数とは?見やすい図で誰でもすぐわかる!定義や求め方も

数学 2017.6.23
微分係数とは?見やすい図で誰でもすぐわかる!定義や求め方も

高校数学の微分係数について、早稲田大学に通う筆者がわかりやすく解説します。

本記事を読めば、数学が苦手な生徒でも微分係数とは何か、微分係数の求め方や定義が理解できるでしょう。

スマホでもみやすいイラストを使いながら微分係数について解説していきます。

ぜひ最後まで読んで、微分係数をマスターしてください!

 

    1:微分係数とは?

    まずは微分係数とは何かについて解説します。

    微分係数とは何かを学習する前に、平均変化率という言葉を覚えていますか?

    平均変化率とは、関数y=f(x)において、xの値がaからbに変化した時、yの値がf(b)-f(a)だけ変化したとすると、

    f(b)-f(a) / b-a・・・①

    のことを関数f(x)の平均変化率と呼んでいました。

    関数f(x)の平均変化率

    ここで、①において、aの値を固定し、bを限りなくaに近づけることを考えてみます。

    ※「bを限りなくaに近づける」ので決して「b=a」にはなりません。

    この時、①がある一定の値αに限りなく近づく時、このαの値を「関数f(x)のx=aにおける微分係数」と呼び、f'(x)で表します。

    少しわかりにくいかもしれませんが、後に例題を使って問題を解いてみるとその意味がわかりますので、少し理解できてないくても次に進みましょう!

     

      2:微分係数の定義・求め方

      関数f(x)のx=aにおける微分係数の定義はlim(リミット)という記号で以下のように表すことができます。

      微分係数の定義

      「b→a」は「bを限りなくaに近づける」

      「h→0」は「hを限りなく0に近づける」という意味です。

      微分係数の表し方は2通りあるので注意してください。

      以上が微分係数の定義になりますが、これだけではわかりにくいので、次の章で実際に微分係数を求める計算問題を解いてみましょう。

       

      3:微分係数を計算してみよう!

      では、実際に微分係数を求める計算問題を解いてみましょう。

      もちろん詳しい解答&解説付きです。

      問題

      関数f(x)=x2+xにおいて、以下のものを計算せよ。

      (1)x=1からx=1+hまで変化する時の平均変化率(ただし、h≠0とする)

      (2)x=1における微分係数

      解答&解説

      (1)

      まずは平均変化率を求めます。

      x=1の時、

      f(1)=12+1=2・・・①

      x=1+hの時、

      f(1+h)

      =(1+h)2+(1+h)

      =1+2h+h2+(1+h)

      =h2+3h+2・・・②

      よって、xの値が1から1+hに変化した時、f(x)の値は

      ②−①

      = (h2+3h+2) – 2

      = h2+3h

      変化したことになります。

      よって、求める変化の割合は

      h2+3h / (1+h)-1

      = h2+3h / h・・・③

      ここで、問題文よりh≠0ですので、

      ③ = h+3・・・(答)

      となり、平均変化率が求まりました。

       

      (2)

      次はx=1における微分係数を求めます。

      微分係数公式の1つ目を使います。

      微分係数公式の1つ目

      ※今回はlimのbに当たるのが1、aに当たるのが1+hです。

      1を1+hに限りなく近づけるということはhを限りなく0に近づけるということと同じなので、以下では「h→0」と記載しています。

      すると、

      微分係数の計算

      となります。

      いかがですか?問題を解いてみると微分係数のイメージがわいたかもしれません。

       

        微分係数のまとめ

        今回は微分係数を扱いました。

        微分係数は微分の基礎ですので、ぜひ定義や求め方をしっかりと理解しておきましょう!

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        この記事の執筆者

        ニックネーム:やっすん

        早稲田大学商学部4年
        得意科目:数学