微分係数とは？見やすい図で誰でもすぐわかる！定義や求め方も

「hを0に近づけるってどういうこと？」「一応理解はしてつもりだけど問題で間違ってしまうことがある」と悩んでいる方も多いと思います。

微分係数は、高校数学の中でも微分の出発点となる重要な概念です。微分係数を理解することは、微分に関連する問題を解くために欠かせない基礎となります。

この記事では、微分係数の定義や求め方についてまとめます。計算問題も用意してありますので、演習を通じて確実に理解しましょう！

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微分係数とは？

まずは微分係数とは何かについて解説します。

微分係数とは何かを学習する前に、平均変化率という言葉を覚えていますか？

平均変化率とは、関数y=f(x)において、xの値がaからbに変化した時、yの値がf(b)-f(a)だけ変化したとすると、

f(b)-f(a) / b-a・・・①

のことを関数f(x)の平均変化率と呼んでいました。

ここで、①において、aの値を固定し、bを限りなくaに近づけることを考えてみます。

※「bを限りなくaに近づける」ので決して「b=a」にはなりません。

この時、①がある一定の値αに限りなく近づく時、このαの値を「関数f(x)のx=aにおける微分係数」と呼び、f'(x)で表します。

少しわかりにくいかもしれませんが、後に例題を使って問題を解いてみるとその意味がわかりますので、少し理解できてないくても次に進みましょう！

微分係数の定義・求め方

関数f(x)のx=aにおける微分係数の定義はlim（リミット）という記号で以下のように表すことができます。

「b→a」は「bを限りなくaに近づける」

「h→0」は「hを限りなく0に近づける」という意味です。

微分係数の表し方は２通りあるので注意してください。

以上が微分係数の定義になりますが、これだけではわかりにくいので、次の章で実際に微分係数を求める計算問題を解いてみましょう。

微分係数を計算してみよう！

では、実際に微分係数を求める計算問題を解いてみましょう。もちろん詳しい解答＆解説付きです。

問題

関数f(x)=x²+xにおいて、以下のものを計算せよ。

（1）x=1からx=1+hまで変化する時の平均変化率（ただし、h≠0とする）

（2）x=1における微分係数

解答＆解説

（1）

まずは平均変化率を求めます。

x=1の時、

f(1)=1²+1=2・・・①

x=1+hの時、

f(1+h)

=(1+h)²+(1+h)

=1+2h+h²+(1+h)

=h²+3h+2・・・②

よって、xの値が1から1+hに変化した時、f(x)の値は

②−①

= (h²+3h+2) – 2

= h²+3h

変化したことになります。

よって、求める変化の割合は

h²+3h / (1+h)-1

= h²+3h / h・・・③

ここで、問題文よりh≠0ですので、

③ = h+3・・・（答）

となり、平均変化率が求まりました。

（2）

次はx=1における微分係数を求めます。

微分係数公式の１つ目を使います。

※今回はlimのbに当たるのが1、aに当たるのが1+hです。

1を1+hに限りなく近づけるということはhを限りなく0に近づけるということと同じなので、以下では「h→0」と記載しています。

すると、

となります。

いかがですか？問題を解いてみると微分係数のイメージがわいたかもしれません。

まとめ

今回は微分係数を扱いました。

微分係数は微分の基礎ですので、ぜひ定義や求め方をしっかりと理解しておきましょう！