期待値の求め方は？計算方法や公式をわかりやすく解説！

最近、「期待値」という言葉が学業の枠を超えて日常の会話にも頻繁に登場するようになりました。この期待値を計算する方法は意外とシンプルです。

高校数学では、期待値は数学Aの「場合の数・確率」の単元、さらに数学Bの「確率分布と統計」の範囲で学習します。

この記事では、そんな「期待値」の計算方法をわかりやすく紹介します。

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1.  期待値とは？意味と求め方

ここでは期待値とは何かについて解説していきます。

期待値の意味

期待値とは、試行を行った際に出てくる値の平均値のことを指します。期待値は得られる値とその確率ごとの積の和で求めることが出来ます。

ではどのようなときに期待値を利用するのでしょうか？

例として、次のようなくじがあったとします。

1等	10000円	1本
2等	5000円	2本
3等	1000円	10本
4等	100円	100本
はずれ	0円	877本
	合計本数	1000本

このくじの中から1本を引き、当たった等数に応じた金額がもらえるとします。

では、このくじがいくらであれば、購入するとき得になるでしょうか。

このような問題を解くときに、「期待値」を利用することで計算することが出来ます。

期待値の求め方

この問題の場合、「くじ1本あたりの価値は、平均するといくらになるか」を考えます。

このくじの1等の価値は10000円ですが、1等を引くことができるのは、1000回に1回の確率です。

対して0円の価値であるはずれくじは887本あります。

このように、くじの価値と本数から平均を求めると、くじ1本当たりの価値がどれくらいかを考えることができます。

まずはくじを1000本全て購入したら、いくら当選するかを考えてみましょう。

実際に計算してみると、

となり、合計で40000円が当選することが分かりました。

1000本のくじを買って40000円当選することになりますから、平均すると1本当たり

の価値があることになります。

ですから、このくじがもし1本50円で販売されていた場合には、「1本40円の価値しかないものを50円で買う」わけですから、損をしていることになります。

一方、このくじがもし1本30円で販売されていた場合には、「1本40円の価値があるものを30円で買える」わけですから、得をしていることになりますね。

ところで、このくじの1本当たりの価値は、

という式で計算しました。

つまり、くじ1本当たりの価値は

という式で計算できることになります。

この式は、

このように変形できます。つまり、

くじの価値×そのくじが出る確率

をすべて足し合わせていることになります。これが期待値です。

このくじを1本買うと、40円分のリターンが期待できるといえます。

一般に、ある数量Xのとりうる値がそれぞれ、

であり、その値をとるときの確率がそれぞれ

であるとき、数量Xの期待値E( X )は

で求めることができます。

上のくじの例で言えば、

	数量X	確率
1等	10000円	1/1000
2等	5000円	2/1000
3等	1000円	10/1000
4等	100円	100/1000
はずれ	0円	877/1000

 

となります。

2.  期待値の性質

くじの例で挙げた数量Xのことを、「確率変数」と言います。

確率分布Xに対して、Y＝a X + b で与えられる新たな確率変数Yを考えたときに、確率変数Yの期待値（平均）はどうなるでしょうか。

上のくじの例を使って考えてみましょう。

あるくじを引いたら以下のようなポイントがもらるとします。（数値は変えていません）。

	数量X	確率
1等	10000ポイント	1/1000
2等	5000ポイント	2/1000
3等	1000ポイント	10/1000
4等	100ポイント	100/1000
はずれ	0ポイント	877/1000

この1ポイントにつき、2円で換金できます。このくじを1本100円で購入するときの利益の平均を考えましょう。

このくじを購入するのは得でしょうか、損でしょうか。

この利益が確率変数Yです。

つまり、ポイント（＝確率変数X）を2倍して、購入するのにかかる100円を引いた金額が利益になりますから、確率変数Yは

Y＝2Xー100

で求められます。このYの平均E ( Y ) が正の値になれば、買うと得でしょうし、マイナスになれば買うと損をするくじであることになります。

その期待値を求めるには、

	確率変数X	確率変数Y	確率
1等	10000ポイント	19900円	1/1000
2等	5000ポイント	9900円	2/1000
3等	1000ポイント	1900円	10/1000
4等	100ポイント	100円	100/1000
はずれ	0ポイント	ー100円	877/1000

として、先と同様に

と計算すればよいでしょう。

この数字が示すのは「1本購入するにつき20円ずつ損をする計算である」ということですから、このくじは買わない方が正解です。

始めの確率変数Xの期待値は40でした。この－20という値は

40×2－100＝－20

という値と一致します。

ですから、先に確率変数Xの期待値がわかっているのであれば、確率変数Yの値をそれぞれ計算して期待値を求めるよりも、確率変数Xの期待値から直接、確率変数Yの期待値を求める方が楽です。

上の式を手計算で行うのは、大変ですよね。

一般に、確率変数Xの期待値（平均）がE ( X ) であり、確率変数Yが Y = a X + b で表されるとき、確率変数Yの期待値（平均）は

という公式で求めることができます。

この公式の証明は以下の通りです。

3.  反復試行での期待値と確率

解答と解説

3の倍数の目が出る回数を、確率変数Xとします。

4回さいころを振ったときに、Xの値としては0回、1回、2回、3回、4回という可能性がありますね。

ですから、それぞれに対して考えていきましょう。

期待値の基本は

確率変数Xの値×確率

ですから、それぞれの回数に対する確率を求めていくことになります。

同じさいころを、反復して振っていますから、反復試行の確率です。

1回の試行で3の倍数の目が出るような確率は

ですから、k回の試行で3の倍数の目が出るような確率は

となります。k = 0, 1, 2, 3, 4 でそれぞれ計算すると、

です。ここから、期待値を計算すると

となります。つまり、この試行において3の倍数が出る回数の期待値は

であることになります。

4.  おわりに

最後までご覧くださってありがとうございました。

この記事では、期待値の定義と計算についてまとめました。

期待値は数学Aや数学Bの確率統計の分野で扱います。

高校の教科書には載っていないこともありますが（あるいはコラムとして掲載されている場合が多いです）、大学入試の問題ではしばしば登場します。

とはいえ、難しく考える必要はありません。

基本的には「確率変数Xの値×その確率」をすべて足せば、求めることができます。

ご参考になれば幸いです。

編集者：Noi_