半角公式が一目でわかる!証明&必ず解きたい問題付き

数学 2016.11.29
半角公式が一目でわかる!証明&必ず解きたい問題付き

三角関数の半角公式について、数学が苦手な人でも理解できるように、現役の早稲田生が解説しています。

本記事を読めば、三角関数の半角公式が理解できるでしょう。

扱う内容は、半角公式の一覧、半角公式の証明、半角公式を使った練習問題の3つです。

特に、練習問題では、実践的な半角公式の使い方が理解できるので、ぜひ解いてください!

ぜひ最後まで読んで、半角公式をマスターしましょう!

 

三角関数の公式の理解に役立つ記事のまとめもぜひ参考にしてみてください!

 

    1:半角公式の一覧

    まずは、半角公式の一覧をお見せします。

    半角公式は、三角関数の分野でも基礎の1つなので、必ず暗記しましょう!

    ※三角関数のsin・cos・tanについては三角関数の基礎について解説した記事をご覧ください。

    半角公式の一覧

    以上が、3つの半角公式の一覧になります。繰り返しになりますが、半角公式はかなり重要なので必ず暗記しましょう!

     

      2:半角公式の証明

      では、なぜ半角公式は成り立つのでしょうか?

      この章では、3つの半角公式が成り立つ理由(半角公式の証明)を行います。

      半角公式の証明は簡単ですので、手順をしっかり頭に入れておきましょう。

      sinの半角公式:証明

      まずはsinの半角公式の証明です。

      ここで、三角関数の二倍角の公式を思い出してください。

      ※三角関数の二倍角の公式を忘れた人は、加法定理について解説した記事の公式一覧をご覧ください。

      三角関数の二倍角の公式より、

      cos2α=1-2sin2α

      でしたね。

      これを変形して、

      sin2α=(1-cos2α)/2

      となります。αをα/2に置き換えて、

      sin2(α/2)=(1-cosα)/2・・・①

      となります。以上より、sinの半角公式が証明できました。

       

      cosの半角公式:証明

      cosの半角公式の証明でも、三角関数の二倍角の公式を使います。

      三角関数の二倍角の公式より、

      cos2α=2cos2α-1

      なので、式変形をして、

      cos2α=(1+cos2α)/2

      となります。αをα/2に置き換えて、

      cos2(α/2)=(1+cosα)/2・・・②

      となり、cosの半角公式が証明できました。

       

      tanの半角公式:証明

      最後に、tanの半角公式の証明です。

      ここで、tanの性質を思い出しましょう。

      tanα=sinα/cosα

      でしたね。よって、

      tan2α=sin2α/cos2α

      です。ここで、αをα/2に置き換えると、

      tan2(α/2)=sin2(α/2)/cos2(α/2)

      となりますね。よって、①②より、

      tan2(α/2)

      =(1-cosα)/(1+cosα)

      となり、tanの半角公式が証明できました。

       

      三角関数の半角公式の証明は以上になります。

      半角公式の証明は簡単でしたよね?半角公式の証明は、二倍角の公式を使って証明することを覚えておきましょう。

       

      3:半角公式の練習問題

      最後に、半角公式を利用した練習問題を解いてみましょう!

      半角公式の実践的使い方が理解できます。

      半角公式:問題1

      sin67.5°の値を求めよ。

      解答&解説

      67.5°×2=135°であることに注目します。

      sin267.5°=sin2(135/2)°ですね。

      よって、

      sin267.5°

      =(1-cos135°)/2

      =(1+1/√2)/2・・・(答)

      となります。

       

      半角公式:問題2

      π/2<θ<π、sinθ=12/13のとき、cosθ/2の値、sinθ/2の値を求めよ。

      解答&解説

      π/2<θ<π、sinθ=12/13のとき、

      cosθ= -5/13ですね。

      よって、

      cos2(θ/2)

      = (1- 5/13)/2

      = 4/13・・・①

      ですね。ここで、

      π/2 < θ < πより、

      π/4 < θ/2 < π/2・・・②

      です。よって、

      cosθ>0なので、①より、

      cosθ/2=2/√13・・・(答)

      となります。

      また、

      sin2(θ/2)

      = (1+5/13)/2

      = 9/13・・・③

      です。②より、

      sinθ/2 > 0 なので、③より、

      sinθ/2=3/√13・・・(答)

      となります。

       

      半角公式:問題3

      問題2のとき、tanθ/2の値を求めよ。

      解答&解説

      tanθ/2

      = (sinθ/2) / (cosθ/2)

      です。

      したがって、

      (5/√26) / (1/√26)

      =  5・・・(答)

      となります。

       

        半角公式のまとめ

        いかがでしたか?三角関数の半角公式が理解できましたか?

        繰り返しになりますが、半角公式は必ず暗記しましょう!半角公式を忘れたときは、また本記事で半角公式を思い出してください。

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        この記事の執筆者

        ニックネーム:やっすん

        早稲田大学商学部4年
        得意科目:数学