半角公式が一目でわかる!証明&必ず解きたい問題付き

数学 2016.11.29

三角関数の半角公式について、数学が苦手な人でも理解できるように、現役の早稲田生が解説しています。

本記事を読めば、三角関数の半角公式が理解できるでしょう。

扱う内容は、半角公式の一覧、半角公式の証明、半角公式を使った練習問題の3つです。

特に、練習問題では、実践的な半角公式の使い方が理解できるので、ぜひ解いてください!

ぜひ最後まで読んで、半角公式をマスターしましょう!

【目次】

1:半角公式の一覧

2:半角公式の証明

3:半角公式の練習問題

 

1:半角公式の一覧

まずは、半角公式の一覧をお見せします。

半角公式は、三角関数の分野でも基礎の1つなので、必ず暗記しましょう!

※三角関数のsin・cos・tanについては三角関数の基礎について解説した記事をご覧ください。

半角公式の一覧

以上が、3つの半角公式の一覧になります。繰り返しになりますが、半角公式はかなり重要なので必ず暗記しましょう!

 

2:半角公式の証明

では、なぜ半角公式は成り立つのでしょうか?

この章では、3つの半角公式が成り立つ理由(半角公式の証明)を行います。

半角公式の証明は簡単ですので、手順をしっかり頭に入れておきましょう。

sinの半角公式:証明

まずはsinの半角公式の証明です。

ここで、三角関数の二倍角の公式を思い出してください。

※三角関数の二倍角の公式を忘れた人は、加法定理について解説した記事の公式一覧をご覧ください。

三角関数の二倍角の公式より、

cos2α=1-2sin2α

でしたね。

これを変形して、

sin2α=(1-cos2α)/2

となります。αをα/2に置き換えて、

sin2(α/2)=(1-cosα)/2・・・①

となります。以上より、sinの半角公式が証明できました。

 

cosの半角公式:証明

cosの半角公式の証明でも、三角関数の二倍角の公式を使います。

三角関数の二倍角の公式より、

cos2α=2cos2α-1

なので、式変形をして、

cos2α=(1+cos2α)/2

となります。αをα/2に置き換えて、

cos2(α/2)=(1+cosα)/2・・・②

となり、cosの半角公式が証明できました。

 

tanの半角公式:証明

最後に、tanの半角公式の証明です。

ここで、tanの性質を思い出しましょう。

tanα=sinα/cosα

でしたね。よって、

tan2α=sin2α/cos2α

です。ここで、αをα/2に置き換えると、

tan2(α/2)=sin2(α/2)/cos2(α/2)

となりますね。よって、①②より、

tan2(α/2)

=(1-cosα)/(1+cosα)

となり、tanの半角公式が証明できました。

 

三角関数の半角公式の証明は以上になります。

半角公式の証明は簡単でしたよね?半角公式の証明は、二倍角の公式を使って証明することを覚えておきましょう。

 

3:半角公式の練習問題

最後に、半角公式を利用した練習問題を解いてみましょう!

半角公式の実践的使い方が理解できます。

半角公式:問題1

sin67.5°の値を求めよ。

解答&解説

67.5°×2=135°であることに注目します。

sin267.5°=sin2(135/2)°ですね。

よって、

sin267.5°

=(1-cos135°)/2

=(1+1/√2)/2・・・(答)

となります。

 

半角公式:問題2

π/2<θ<π、sinθ=5/12のとき、cosθ/2の値、sinθ/2の値を求めよ。

解答&解説

π/2<θ<π、sinθ=5/12のとき、

cosθ= -12/13ですね。

よって、

cos2(θ/2)

= (1- 12/13)/2

= 1/26・・・①

ですね。ここで、

π/2 < θ < πより、

π/4 < θ/2 < π/2・・・②

です。よって、

cosθ>0なので、①より、

cosθ/2=1/√26・・・(答)

となります。

また、

sin2(θ/2)

= (1+12/13)/2

= 25/26・・・③

です。②より、

sinθ/2 > 0 なので、③より、

sinθ/2=5/√26・・・(答)

となります。

 

半角公式:問題3

問題2のとき、tanθ/2の値を求めよ。

解答&解説

tanθ/2

= (sinθ/2) / (cosθ/2)

です。

したがって、

(5/√26) / (1/√26)

=  5・・・(答)

となります。

 

いかがでしたか?三角関数の半角公式が理解できましたか?

繰り返しになりますが、半角公式は必ず暗記しましょう!半角公式を忘れたときは、また本記事で半角公式を思い出してください。


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