無限等比級数とは?基本からわかりやすく解説!

数学 2018.10.24
無限等比級数とは?基本からわかりやすく解説!

無限、という概念は数学上、意外に厄介です。文字の意味だけをとらえれば、「限りが無いこと」ということになりますが、数学では1次の無限大、2次の無限大など無限大の程度の違いもあり、実際の取り扱いは文脈によるところが大きでしょう。単に「とても大きい数」という意味で扱うこともあります。無限等比級数は、そんな無限を扱います。この記事では、無限等比級数についてまとめます。

    1.  無限等比級数の基礎①等比数列

    無限等比級数を扱う前に、数学Bで扱った基礎的な等比数列について復習しておきましょう。

    ※等比数列に関する記事はこちらからご覧ください。

    等比数列とは、文字通り「比が等しい数列」です。

    たとえば、以下のような数列 an は等比数列です。

    an = 3,6,12,24,48,96,192,………

    多くの場合、等比数列を扱う場合には「無限数列」を設定します。

    数列には有限数列と無限数列があり、項の個数に限りがあるものを有限数列、項の数に限りが無いものを無限数列といいます。

    数列 an の法則はすぐにわかると思います。

    前の項に2をかけたら、次の項になっていますね。

     

    つまり、「前の項と次の項の比が常に2になっているような数列」なので、等比数列といいます。

    このとき、 an は「初項が3で、公比が2であるような等比数列である」といいます。

    等比数列を考えるときには、この「初項」と「公比」2つさえわかれば、等比数列がただ一つに定まります。

    つまり、その等比数列に関する式を2つたてて、連立方程式を解けば、等比数列の一般項が求まるということになります。

    初項が a 、公比が r であるような等比数列 an の一般項は

    an =arn-1

    です。

      2.  無限等比級数の基礎②等比数列の和

      数学Bで数列を学習したとき、非常に多くの公式があり苦労したのではないでしょうか。

      しかし、数列の公式は(最終的には頭に入れなければなりませんが)、覚えるというより、なぜそうなっているかを理解する方が大切です。

      Σを使った和の公式を求めるのは骨が折れますが、その他の数列の公式を導くことは、そう難しくありません。

      等比数列の和の公式も、簡単に導くことができます。

      等比数列の一般項は

      an =arn-1

      です。

      つまり、等比数列 an n 項目までを書き並べて表すと以下のようになります。

      an=a, ar, ar2, ar3, ar4……… arn-1 

      等比数列 an n 項目までの和を Sn とする

      Sn=a + ar + ar2 + ar3 + ar4 +⋯……+ arn-1

      となります。この Sn を求めたい!

      というわけです。

      Sn に公比 r をかけます。

      rSn=ar + ar2 + ar3 + ar4 + ar5 +⋯……+ arn-1 + arn

      ここで、Sn rSn に共通する項が多く見られるのに気づくでしょうか。

      Sn-rSnを考えると、真ん中の項がごっそり消えてくれます。

      というように計算することで、等比数列の和の公式を求めることができます(ただし公比は1でないとします)。

      等比数列の一般項が「rn-1」なのに対して、和の公式で使っているのが「rn」ですので、苦労された方もいるのではないでしょうか。

      このような理屈がわかっていれば、迷うことはありません。

      等比数列の和の公式を求める際には、「公比 r をかけている」ので、和の公式では rn となるのです。

      等比数列について詳しく知りたい方はこちら!!

       

      3.  無限等比級数

      ここからは無限級数の説明に入っていきます。

      さて等比数列の和では、第1項から第 n 項までの和を考えました。

      つまり有限な等比数列の和です。

      無限数列の和を「無限級数」といいます。記号を使って表すと、

      となります。先の

      Sn=a + ar + ar2 + ar3 + ar4 +⋯……+ arn-1

      は無限級数の部分和といいます。

       

      さて、ここで考えてみましょう。一番初めの数列 an

      an = 3,6,12,24,48,96,192,………

      の部分和 Sn です。

      S1=3

      S2=3+6=9

      S3=3+6+12=21

      S4=3+6+12+24=45

      このまま続けていくと、どんどん大きな数になっていくはずです。つまり、どこかの値に近づいていくことがありません。

      もし部分和が、ある値に限りなく近づいていくことを「収束する」といいます。

      収束しないことを「発散する」といいます(発散には広義には振動も含まれます)。

      そして、部分和が発散するとき、「無限級数が発散する」といいます。

      一部がどんどん大きくなっていくなら、当然全体もどんどん大きくなっていきますよね。

      ですから、この無限等比級数は発散します。

      では、無限等比級数が収束する場合というのは、どのような場合でしょうか。

      結論から言えば、無限等比級数に限らず、無限級数については以下のことがわかっています

       

      対偶をとると

                           

      となります。

      すなわち、無限級数が収束するかどうかは、元の数列 an による、ということです。

      ただし                 

      ことに気を付けましょう。

      無限等比級数に話を戻しましょう。等比数列の和は

       

      でした。このとき、元の数列 an が発散するか0に収束するかは、公比 r に依存しているのがわかるでしょうか。

      たとえば

      an= 3,6,12,24,48,96,192,………

      のような、公比が2の等比数列であれば、an は発散しますよね。

      一方

      のような、公比が 1/2 の数列であれば、元の数列の項はどんどん0に近づいていきます。つまり、an 0に収束します。

      無限等比級数に限っては、部分和がわかっています。

       

      この数式を眺めてみて、収束や発散にかかわりそうな部分はどこでしょう。

      rn であることがわかりますか。

      もしも rn が発散すれば、Sn 全体も発散します。

      一方、rn が収束すれば、Sn は収束します。

      たとえば、rn 0に収束すれば、

      となり、n に依存しない値になりますね。

      では、その rn の収束・発散はどのようにして決まるでしょう。

      もちろん、公比 r の値によって決まります。

      先も申し上げた通り、公比が2なら発散して、公比が 1/2 なら収束します。

      もっと言えば、

      ① -1 < r < 1 であれば limn→∞rn = 0

      ② r ≦ -1, 1 < r であれば  limn→∞rn  は発散する

      ③ r = 1 であれば  limn→∞rn = 1

      となりますね。

      ではそれぞれの場合 Sn はどうなりますか。

      ①の場合は先にも申し上げました。

      です。

       

      ②の場合

       

      から、発散します。

       

      ③の場合、すなわち r = 1 であれば、数列 an

      an  = a, a, a, a, a, a…………

      となります。この第 n 項までの部分和 Sn

      Sn = na

      です。これは n が無限大になれば発散します。

      ①~③より、無限等比級数の収束・発散に関して以下のことが言えます。

      a ≠ 0 のとき、無限等比級数

      a+ar+ar2+ ar3+ar4+⋯……+ arn-1+⋯……

      の収束発散は、次のようになる

      ・-1< r <1 のとき、収束して、その和は 、

       である。

      ・r<-1 ,1<r のとき、発散する。

       

      無限級数の性質のまとめ

      無限級数の性質として、以下のことを知っておきましょう
      無限級数の方式

       

        4.  例題

        無限等比級数

        が収束するような実数の値の範囲を求めよ。ただし、x ≠ -1 とする。

        解答・解説

        まず、この無限等比級数のもとになっている数列について考えます。

        初項が x、公比が 

        の無限等比級数です。

        無限等比級数が収束するための条件は、公比が-1から1までの数であることでしたから、求める条件は

        から

        x<-2, 0<x

        となります。

        ただし、無限等比級数が収束するための条件は、実はもう一つ隠されています。

        それは「初項が0である」ことです。

        公比がいくらであっても、初項が0なら、元の数列は0に収束するので、無限等比級数も収束します。

        ですから、求める条件は、初項 x = 0 という条件も含めて

        x<-2, 0≦x

        が答えになります。

        この初項の条件を忘れる人が多いので、初項が文字で表されているときには注意しておきましょう。

          5.  無限等比級数のまとめ

          最後までご覧くださってありがとうございました。この記事では無限等比級数についてまとめました。

          無限等比級数は、言葉の定義があいまいな受験生が多いですが、あいまいでもなんとなく解けてしまう分野でもあります。

          とはいえ、数学をはじめとする理系分野で重要なのは「定義」です。

          しっかり言葉の意味を頭に入れておきましょう。

          それさえできていれば、自然と導かれる公式も多いです。

          記事の内容でわからないところ、質問などあればこちらからお気軽にご質問ください。

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          この記事の執筆者

          ニックネーム:受験のミカタ編集部

          「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している「受験応援メディア」です。