中線定理を慶應生が解説!証明&使い方が分かる問題付き!

数学 2016.12.21
中線定理を慶應生が解説!証明&使い方が分かる問題付き!

高校数学における中線定理について、数学が苦手な人でも理解できるように現役の慶應生が解説します。

中線定理は高校数学ではあまり知られていませんが、とても便利な定理です。

中線定理を知っておくと、センター試験などで時間を短縮できる場合があります。

本記事を読めば、中線定理とは何か・中線定理の使い方・中線定理の証明が理解できます。

最後には、中線定理の練習問題も用意した充実の内容です。

数学が苦手な人でも、ぜひ最後まで読んで中線定理を理解してください!

 

    1:中線定理とは?

    まずは、中線定理とは何かについてわかりやすく解説します。

    中線定理とは、下図のような三角形ABCにおいて辺BCの中点をMとした時、

    AB2+AC2=2(AM2+BM2)

    を満たす定理のことです。

    【中線定理とは?】

    中線定理とは何かの解説画像

    また、中線定理は別名パップスの定理とも呼ばれています。

    以上が中線定理とは何かについての解説になります。次の章では、中線定理の使い方(例題)を見てみましょう。

     

      2:中線定理の使い方(例題)

      では、中線定理を使って実際に問題を解いてみましょう。中線定理の具体的な使い方が理解できます。

      中線定理:例題

      下の図のように、三角形ABCがある。AB=3、BC=8、CA=6のとき、AMの長さを求めよ。

      ただし、点MはBCの中点とする。

      中線定理 三角形ABC

      解答&解説

      中線定理の公式にそれぞれの値を当てはめましょう。

      中線定理より、

      AB2+AC2=2(AM2+BM2)

      なので

      32+62=2(AM2+42)

      ※BMの長さはBCの長さの半分なので4です。

      よって、

      9+36=2(AM2+16}

      より

      AM2=13/2

      なので、

      AM=√26/2・・・(答)

      となります。

      中線定理の使い方がイメージできたでしょうか?中線定理はとても便利な公式なのでぜひ知っておきましょう!

       

      3:中線定理の証明

      では、なぜ中線定理は成り立つのでしょうか?

      本章では、中線定理が成り立つ理由(中線定理の証明)を行います。

      中線定理の証明の仕方はいくつかありますが、今回は余弦定理を使った証明をしていきます。

      ※余弦定理についてあまり理解できていない人は、余弦定理について詳しく解説した記事をご覧ください。

      【中線定理の証明】

      中線定理の証明解説画像

      ∠AMBに対して余弦定理を用いると、

      cos∠AMB

      =(AM2+BM2-AB2)/2・AM・BM

      同様に考えて、

      cos∠AMC

      =(AM2+CM2-AC2)/2・AM・CM

      ここで、BM=CM、cos∠AMB=-cos∠AMCより

      ※cos∠AMB=cos(180°-∠AMC)より

      cos∠AMB=-∠AMCとなります。

      詳しくは加法定理について解説した記事をご覧ください。

      AM2+BM2-AB2

      =-AM2-BM2+AC2

      式を整理して

      AB2+AC2=2(AM2+BM2)

      となり、中線定理を導くことができます。

      以上が中線定理の証明になります。

      次の章では、中線定理の練習問題をご用意しています。ぜひ解いて、中線定理をマスターしましょう!

       

        4: 中線定理の練習問題

        では、中線定理の練習問題を早速解いてみましょう!

        中線定理:練習問題

        下の図のように、AB=5、BC=12、CA=7の三角形ABCがある。AMの長さを求めよ。

        解答&解説

        中線定理の公式を使いましょう!

        中線定理より、

        52+72=2(AM2+BM2)

        ここで、BMの長さはBCの長さの半分なので6です。

        したがって、

        52+72=2(AM2+52)

        より、

        AM2=12

        となるので、

        AM=√12・・・(答)

        となります。

         

        いかがでしたか?

        中線定理とは何か、中線定理の証明・使い方が理解できましたか?

        中線定理は高校数学ではあまり有名な定理ではありませんが、中線定理を知っているとセンター試験などで時間を短縮できる時があります!

        中線定理を忘れた時は、また本記事を読み返して、中線定理を復習しましょう!

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        この記事の執筆者

        ニックネーム:受験のミカタ編集部

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