中線定理を慶應生が解説！証明&使い方が分かる問題付き！

高校数学における中線定理について、数学が苦手な人でも理解できるように現役の慶應生が解説します。

中線定理は高校数学ではあまり知られていませんが、とても便利な定理です。

中線定理を知っておくと、センター試験などで時間を短縮できる場合があります。

本記事を読めば、中線定理とは何か・中線定理の使い方・中線定理の証明が理解できます。

最後には、中線定理の練習問題も用意した充実の内容です。

数学が苦手な人でも、ぜひ最後まで読んで中線定理を理解してください！

 

1：中線定理とは？

まずは、中線定理とは何かについてわかりやすく解説します。

中線定理とは、下図のような三角形ABCにおいて辺BCの中点をMとした時、

AB²+AC²=2(AM²+BM²)

を満たす定理のことです。

【中線定理とは？】

また、中線定理は別名パップスの定理とも呼ばれています。

以上が中線定理とは何かについての解説になります。次の章では、中線定理の使い方（例題）を見てみましょう。

 

2：中線定理の使い方（例題）

では、中線定理を使って実際に問題を解いてみましょう。中線定理の具体的な使い方が理解できます。

中線定理：例題

下の図のように、三角形ABCがある。AB=3、BC=8、CA=6のとき、AMの長さを求めよ。

ただし、点MはBCの中点とする。

解答＆解説

中線定理の公式にそれぞれの値を当てはめましょう。

中線定理より、

AB²+AC²=2(AM²+BM²)

なので

3²+6²=2(AM²+4²)

※BMの長さはBCの長さの半分なので4です。

よって、

9+36=2(AM²+16}

より

AM²=13/2

なので、

AM=√26/2・・・（答）

となります。

中線定理の使い方がイメージできたでしょうか？中線定理はとても便利な公式なのでぜひ知っておきましょう！

 

３：中線定理の証明

では、なぜ中線定理は成り立つのでしょうか？

本章では、中線定理が成り立つ理由（中線定理の証明）を行います。

中線定理の証明の仕方はいくつかありますが、今回は余弦定理を使った証明をしていきます。

※余弦定理についてあまり理解できていない人は、余弦定理について詳しく解説した記事をご覧ください。

【中線定理の証明】

∠AMBに対して余弦定理を用いると、

cos∠AMB

=（AM²+BM²-AB²）/2・AM・BM

同様に考えて、

cos∠AMC

=（AM²+CM²-AC²）/2・AM・CM

ここで、BM＝CM、cos∠AMB=-cos∠AMCより

※cos∠AMB=cos(180°-∠AMC)より

cos∠AMB=-∠AMCとなります。

詳しくは加法定理について解説した記事をご覧ください。

AM²+BM²-AB²

=-AM²-BM²+AC²

式を整理して

AB²+AC²=2(AM²+BM²)

となり、中線定理を導くことができます。

以上が中線定理の証明になります。

次の章では、中線定理の練習問題をご用意しています。ぜひ解いて、中線定理をマスターしましょう！

 

4： 中線定理の練習問題

では、中線定理の練習問題を早速解いてみましょう！

中線定理：練習問題

下の図のように、AB=5、BC=12、CA=7の三角形ABCがある。AMの長さを求めよ。

解答&解説

中線定理の公式を使いましょう！

中線定理より、

5²+7²=2(AM²+BM²)

ここで、BMの長さはBCの長さの半分なので6です。

したがって、

5²+7²=2(AM²+5²)

より、

AM²=12

となるので、

AM=√１２・・・（答）

となります。

 

いかがでしたか？

中線定理とは何か、中線定理の証明・使い方が理解できましたか？

中線定理は高校数学ではあまり有名な定理ではありませんが、中線定理を知っているとセンター試験などで時間を短縮できる時があります！

中線定理を忘れた時は、また本記事を読み返して、中線定理を復習しましょう！

この記事の執筆者

ニックネーム：受験のミカタ編集部

「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している「受験応援メディア」です。