有理数とは?無理数との違いも一発理解!必ず解いておきたい問題付き

数学 2017.1.23
有理数とは?無理数との違いも一発理解!必ず解いておきたい問題付き

高校数学では、有理数という概念が登場します。

本記事では、有理数とは何かについて、数学が苦手な生徒でも理解できるように慶應生が丁寧に解説します!

本記事では、有理数とは何かの解説だけでなく、有理数と無理数の違い・見分け方についても紹介しています。

また、最後には有理数に関する必ず解いておきたい練習問題を2つ用意しました!

有理数に関して充実の内容なので、ぜひ最後までご覧ください。

 

    1:有理数とは?無理数との違いもわかる!

    まずは、有理数とは何かについて数学が苦手な生徒でも理解できるように解説します。

    有理数とは、a/b(a、bは整数)のように分数の形に表せる数(b≠0)のことです。

    有理数とは何かの解説画像

    では、整数は分数の形ではないので有理数ではないのでしょうか?

    整数は、分母の数を1とした場合、分数の形に直すことができるので有理数に含まれます。

    整数は有理数であることの解説画像

    ここで、有理数と無理数の違いについて触れていきたいと思います。

    無理数とは、√のように実数のうち有理数でない数のこと、つまり分数の形に直せない数のことです。

    ※実数とは何かがあまり理解できていない人は、実数とは何かについて解説した記事をご覧ください。

    ※無理数をもっと深く学習したい人は、無理数について詳しく解説した記事をご覧ください。

    有理数と無理数の違い解説画像

    有理数と無理数はよく間違われます。本記事でしっかりと理解しておきましょう!

     

      2:有理数と無理数の見分け方

       

      本章では、有理数と無理数の見分け方について解説していきます。

      前章で、有理数とは分数の形に表せる数のことであるということがわかりました。

      そこで覚えておいて欲しいのが、分数の形に直せる数は整数・有限小数・循環小数の3つのうちのいずれかです。

      ※整数・有限小数・循環小数とは何かについて忘れてしまった人は、整数・有限小数・循環小数について解説した記事をご覧ください。

      つまり、有理数であるかどうかを見分けるには、整数、有限小数、循環少数のいずれかどうかを見分ければ良いのです。

      よくある疑問:0って有理数?

      有理数のよくある疑問として、0は有理数かどうかという疑問があります。

      答えから先に述べると、0は有理数です。

      0は分数で0/a(a≠0)と表すことができますね。したがって、0は分数で表すことができるので有理数です。

      また、0は整数なので有理数に含まれるという考え方からも有理数であることがわかります。

      以上が有理数と無理数の見分け方についての解説になります。

       

      3:有理数の練習問題その1

      最後に、有理数に関する練習問題を2つご用意しています。

      必ず解いておきたい良問なので、ぜひ解いてみてください。

      練習問題

      以下の数字から有理数を全て選べ。

      【0.375375…、−72、91、56.68、√3】

      解答&解説

      左から順にひとつずつ考えていきます。

      0.375375… = 125/33

      なので、循環小数です。

      ※循環小数を分数に変換する方法がわからない人は、循環小数を分数に変換する方法について解説した記事をご覧ください。

      循環小数は分数の形に直せるので有理数にあたります。

      -72は整数です。よって有理数です。

      56.68は、小数点以下が68で止まっているため有限小数です。

      有限小数は分数の形に直せるので有理数にあたります。

      √3は1.7320508…(人並みにおごれやと覚えてください!)であり、不規則に並んでいて小数点以下が循環してないため、分数の形に直せません。

      よって、√3は有理数ではありません。

      以上より、有理数は、√3を除く

      0.375375…、−72、91、56.68・・・(答)

      が答えになります。

       

        4:有理数の練習問題その2

        最後に紹介する練習問題は少し難しいですが、とても重要なことが詰まっているのでぜひチャレンジしてみましょう!

        練習問題

        3t=5を満たすtは無理数であることを示し、3x・5(-5y)=3y-5(2x-5)を満たす有理数xとyを求めよ。

        解答&解説

        3t=5を満たすtが有理数だと仮定すると、有理数は分数の形に直せるのでt=m/nと表すことができます。

        ※この問題の証明では、背理法を使います。背理法が理解できていない人は、背理法について解説した記事をご覧ください。

        ここで、3t=5>1よりt>0

        3t=5のtにm/nを代入して

        3(m/n)=5

        両辺をn乗すると、

        3m=5n

        ここで右辺は3の倍数ですが、左辺は5の倍数より矛盾が生じます。

        よってtは無理数になります。

        次に、

        3x・5(-5y)=3y・5(2x-5)・・・①

        を満たす有理数xとyを求めていきましょう。

        ①を3の倍数と5の倍数についてまとめてあげると

        3(x-y)=5(2x-5+5y)・・・②

        2x-5+5y=0でないと仮定すると

        3{(x-y)/(2x-5+5y)}=5

        x、yを有理数とするとx-yと2x-5+5yも有理数となり、(x-y)/(2x-5+5y)も有理数となります。

        このことは、3t=5を満たすtは無理数でしたので矛盾します。

        よって

        2x-5+5y=0・・・③

        より

        5(2x-5+5y)=50=1

        ここで、②の等式を考えると

        3(x-y)=1

        よって

        x-y=0 より

        x=y・・・④

        ③と④を連立して、

        x=y=5/7・・・(答)

        となります。

         

          まとめ

          有理数とは何か・無理数との違いや見分け方が理解できましたか?

          有理数はこの先、数学の世界ではたくさん登場します。

          本記事を読んでしっかりと有理数を理解しておきましょう!

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          この記事の執筆者

          ニックネーム:やっすん

          早稲田大学商学部4年
          得意科目:数学