積分の基礎4つの公式と定積分・不定積分の違いを数学が苦手な人にもわかりやすく解説

数学 2015.10.15

積分は微分と並んで、高校数学のメインテーマの1つです。

特に、積分を使った面積を求める問題はかなり頻出です。(センター試験では、平成22~26年まで、5年連続で出題されています!!

今回はそんな積分の基礎のまとめです。不定積分と定積分の2つにわけて、とてもわかりやすく解説しました!

数学が苦手な人にもわかりやすくまとめましたので是非読んでいてください!!

 

 

1.積分するとは??

まず、「積分する」とは一体どういうことなのでしょうか?簡単に図で示してみました。

積分するとは

 

なんとなくイメージできるでしょうか??

今までは、f(x)を微分して、f´(x)を求めてきました。ですが、今回学習する積分はその逆です。

つまり、f´(x)をもとに、f(x)を求めるというのが積分です!

次からは、その具体的な求め方を学んでいきます。

※微分についてまだ不安要素がある人はこちら!

導関数の求め方と公式がひと目でわかる!

 

2.不定積分とは??

まず、積分には2通りあります。不定積分と定積分です。ですが、問題として出題されるのは定積分がほとんどです。

ですが、今回は積分の基礎ということで、不定積分から扱います。

不定積分とは、微分するとf(x)になる関数のこと。つまり、F´(x)=f(x)となるとすると、F(x)のことを不定積分と呼んでいます。

例えば、3x2を積分することを考えてみます。つまり、微分すると3x2になる関数を求めればよいのですね。

するとどうでしょう?答えとしては、x3やx3+5 , x3-20など、x3以下の項はさまざまな値が考えられますね。このすべてが3x2の不定積分です。

ですが、もちろんそのすべてを書くことはできません。なので、x3以下の項をCという定数で書くことにしています。(このCのことを積分定数という)

つまり、3x2の不定積分はx3+C(Cは積分定数)となります。

※このC(積分定数)を書き忘れると、減点されることもあるので注意しましょう!

また、このことを、

∫ 3x2 dx = x3+C (Cは積分定数)

と書きます。(※ ∫ は「インテグラル」と読みます)

 

3.積分の計算方法

先ほど、3x2を積分して、x3+Cという答えを出しました。これはなんとなくで分かるかもしれませんが、例えば、4x5+10x や 7x3など、複雑な関数になるとつまずきますね…。

そんなときでも積分できるようにするには重要な公式を覚えておく必要があります。

不定積分公式1

具体的な数字で例をみていきましょう。
不定積分例1-1

 

また、積分には重要な性質が2つあります。

まずは1つ目です。

不定積分公式2修正

 

これも具体例でみていきましょう。

不定積分例1-2

 

2つ目です。

不定積分公式3修正

 

具体例です。

不定積分例1-3

 

これらは感覚的にもわかりやすいと思います。

 

[参考]

検算方法としては、積分をして出た値を微分することです!

積分の性質②で紹介した例でみていきます。答え(x4+2x3+C)を微分すると、ちゃんと4x3+6x2になっていますね。

なので、計算ミスはないということです。

 

4.定積分とは??

定積分とは、記号∫の上部と下部に、値が書かれたものを積分することです。

積分イメージ

定積分を、公式としてまとめると次のようになります。

(不定積分が理解できていれば難しくはありません)

定積分公式

 

※本来なら、F(x)はF(X)+Cとなるのですが、{F(b)+C}-{F(a)+C}=F(b)-F(a)となるので、定積分を求める場合は積分定数Cは不要となります。

 

これも具体例でみていきます。

定積分具体例

 

定積分は、不定積分を求めて、それに∫の上部の値を代入してものから下部の値を代入したものを引けばよいということです。

いずれにせよ、不定積分をミスなく求めることが重要になるので、上記の不定積分の公式はしっかり頭に入れておきましょう!

また、今回この積分基礎を学習した人のために、練習問題を4問用意しました

ぜひこちらで問題を解いて、今回の学習が頭に入ったか確認しましょう!

不定・定積分問題の計算方法・これで積分基礎は完璧だ!

いかがでしたか??

積分は不定積分を求めるときに計算ミスをしてしまう人が非常に多いです。

なので、不定積分を求め終えたら、まずはその得られた関数を微分して、正しいかを検証することをオススメします!


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この記事の執筆者

ニックネーム:やっすん

早稲田大学商学部4年
大阪府出身
好きなこと:カラオケ、テニス
得意科目:数学
最近ハマっていること:炎天下のランニング

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