指数関数をわかりやすく解説！グラフの書き方もマスターしよう

「指数関数の計算が複雑で難しい……」「指数関数のグラフの書き方が分からない」といった方は多いでしょう。

一次関数や二次関数を学習したときのように、意味を理解して問題を解いていくことで、指数関数も簡単に対処することができます。

今回は、入試問題としても出題されることの多い指数関数について、定義をはじめ、グラフの書き方についても見ていきましょう。

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指数関数は y=a^x で表される関数

まずは指数関数という言葉の定義を解説していきます。指数関数とは、y=a^x で表される関数のことです。

a が底(てい)で x を指数(しすう)という

通常の、数字で表される累乗と同じように、y=a^x でも、a を底（てい）、 x を指数（しすう）と呼びます。

また、y や x が変化していく値で、a が変わらない（初めから与えられた）値です。簡単に関数で出てくる用語について復習しましょう。

関数とは、ある1つの変数の値が決定されると、同時にもう1つの値も決定されるもののことです。

指数関数 y=a^x では、xの値が決定されるとyの値も決まります。

aは「a≠1 かつ a＞0」の実数

重要なポイントとして、底であるaの値は正の実数であり、かつ、1ではないことを覚えていてください。

底が負の数である累乗は、指数関数の範囲では扱いません。また、aの値が1だと何乗しても1になってしまうため、指数関数に含まれません。

実数について復習したい人は「▶実数とは何かを即理解＆試験で使えるテクニックとは？」をご覧ください。

では、指数関数の大事な点を改めてまとめておきましょう。

指数関数の計算とグラフの書き方

指数関数の計算に関して、覚えるべきことは、公式とグラフの２つです。

順を追って見ていきましょう。

指数関数の計算の公式

指数関数の問題を解けるようになるためには、以下の３つの指数の計算公式を覚える必要があります。
これらは指数関数の計算のルールであり、ルールさえ覚えておけば、計算も決して難しくはありません。

その他の指数法則を知りたい方は「▶指数法則の公式７個は暗記必須！必ず解くべき問題付き」をご覧ください。

指数関数のグラフの書き方

指数関数の問題では、グラフに関連したものも多く出題されますので、グラフについても抑えておきましょう。

指数関数のグラフは、底の値によって見た目が大きく変わります。
底a の値が1よりも大きい場合と、0よりも大きく1よりも小さい時で形が変わります。

まず、底a の値が1よりも大きい場合は、グラフの見た目は右肩上がりになります。

y=a^x (a>1)

つぎに、底の値が0よりも大きく、1よりも小さい場合は右肩下がりです。

y=a^x (0<a<1)

 

グラフを書く時のポイントとしては、グラフと原点、x=1,y=1の点との関係性にも気を付けましょう。

また、a¹=a が常に成り立つため、x=1 のとき y=a になるということにも気を付けましょう。その際の y軸上の a の位置（１より大きいか小さいか）にも、十分注意しましょう。

さらに、a⁰=1 であるため、x=0 のとき y=1 (つまり、y=1 の点でｙ軸と交わる）ということも分かるようにグラフを書きましょう。

これらのことが間違っている（または、書かれていない）場合は、いくらグラフの形が合っていても、不正解となってしまいます。

これらのことを覚えておけば、指数関数のグラフの問題を解く際のヒントになります。

まとめ：指数関数を学習する際のポイント

指数関数は、入試問題としてよく出題されます。

センター試験でも二次試験でも、指数関数についての問題を解く機会は出てくるでしょう。
特に、受験で数学IIIを使う人は、指数関数の問題をスムーズに解いていくために、指数関数のグラフの書き方や、微分積分との関連も重要なポイントとなります。

また、指数関数の定義や計算方法についても正確に理解しておく必要があります。
これらの点を抑えておけば、入試問題に指数関数の問題が出ても苦戦することなく解答を導き出せます。

指数関数に苦手意識を持っている人も多いと思いますが、順を追って1つずつ理解していけば苦手意識も解消できるはずです。
公式を覚えて活用できるようにするなどしながら、指数関数について学んでいきましょう。