指数関数をわかりやすく解説!グラフの書き方もマスターしよう

数学 2018.9.27
指数関数をわかりやすく解説!グラフの書き方もマスターしよう

指数関数とは、多くの場合 y=ax で表される関数のことです。

指数関数を習うまでは、これまで関数に累乗が使われているのを見たことがない人がほとんどなので、難しく感じることもあるでしょう。

しかし、一次関数や二次関数を学習したときのように、指数関数もしっかりと理解すれば簡単に解けるようになります。

今回は、入試問題としても出題されることの多い指数関数について、定義をはじめ、グラフの書き方についても見ていきましょう。

→対数関数について学習したい方はこちら!

 

 

    1.指数関数(y=ax)とは?

    指数関数とは、y=ax で表される関数のことです。

    通常の、数字で表される累乗と同じように、y=ax でも、a を底(てい)、 x を指数(しすう)と呼びます。

    一次関数や二次関数を学んだことがある人なら分かるように、y=ax でも、y や x が変化していく値で、a が変わらない(初めから与えられた)値です。

    →一次関数について復習したい方はこちら!

    →二次関数について復習したい方はこちら!

    簡単に関数で出てくる用語について復習しましょう。

    関数とは、ある1つの変数の値が決定されると、同時にもう1つの値も決定されるもののことです。
    指数関数 y=ax では、xとyがそれぞれ変数となります。

    また、さきほど書いたように、aは実数で、この実数aのことを底と呼んでいます。

    →実数について復習したい方はこちら!

    ここで、重要なポイントとして、底であるaの値は正の実数であり、かつ、1ではないことを覚えていてください。
    なぜなら、指数が負の数である累乗は、この範囲では出てきませんし、また、aの値が1だと、何乗しても1になってしまうからです。

    これらの定義を、しっかりと理解しておいてください。

    では、指数関数の大事な点を改めてまとめておきましょう。

    【指数関数で覚えておくべき3つのこと】

    ★指数関数の定義はy=ax

    実数となるaのことを底と呼ぶ

    ★指数関数では基本的に a≠1 かつ a>0 として考える

    指数関数をマスターするためにもまずはこれらを覚えておきましょう。

      2.指数関数の計算とグラフの書き方

      指数関数の計算に関して、覚えておかなくてはいけないことは、公式とグラフの2つです。

      順を追って見ていきましょう。

       

      指数関数の計算の公式

      指数関数の問題を解けるようになるためには、以下の3つの指数の計算公式を覚える必要があります。
      これらは指数関数の計算のルールであり、ルールさえ覚えておけば、計算も決して難しくはありません。

      【指数関数の計算に必要な指数法則】

      ex×ey=ex+y

      ex÷ey=ex-y

      (ex)y=exy

      →その他の指数法則について知りたい方はこちら!

       

      指数関数のグラフの書き方

      指数関数の問題では、グラフに関連したものも多く出題されますので、グラフについても抑えておきましょう。

      指数関数のグラフは、底の値によって見た目が大きく変わります。
      底a の値が1よりも大きい場合と、0よりも大きく1よりも小さい時で形が変わります。

       

      まず、底a の値が1よりも大きい場合は、グラフの見た目は右肩上がりになります。

      y=ax (a>1)

      a>1の指数関数のグラフ

       

      つぎに、底の値が0よりも大きく、1よりも小さい場合は右肩下がりです。

      y=ax (0<a<1)

      0<a<1のときの指数関数のグラフ指数関数のグラフ

       

      グラフを書く時のポイントとしては、グラフと原点、x=1,y=1の点との関係性にも気を付けましょう。

      また、a1=a が常に成り立つため、x=1 のとき y=a になるということにも気を付けましょう。その際の y軸上の a の位置(1より大きいか小さいか)にも、十分注意しましょう。

      さらに、a0=1 であるため、x=0 のとき y=1 (つまり、y=1 の点でy軸と交わる)ということも分かるようにグラフを書きましょう。

      これらのことが間違っている(または、書かれていない)場合は、いくらグラフの形が合っていても、不正解となってしまいます。

      【指数関数のグラフを書くときに気を付けるポイント】

      a>10<a<1 で形が違う

      a1=a が常に成り立つため、x=1 のとき y=a になる

      a0=1 であるため、x=0 のとき y=1 (つまり、y=1 の点でy軸と交わる)

       

      これらのことを覚えておけば、指数関数のグラフの問題を解く際のヒントになります。

      まとめ:指数関数を学習する際のポイント

      指数関数は、入試問題としてよく出題されます。

      センター試験でも二次試験でも、指数関数についての問題を解く機会は出てくるでしょう。
      特に、受験で数学IIIを使う人は、指数関数の問題をスムーズに解いていくために、指数関数のグラフの書き方や、微分積分との関連も重要なポイントとなります。

      →微分について詳しく知りたい方はこちら!

      →積分について詳しく知りたい方はこちら!

      また、指数関数の定義や計算方法についても正確に理解しておく必要があります。
      これらの点を抑えておけば、入試問題に指数関数の問題が出ても苦戦することなく解答を導き出せます。

      指数関数に苦手意識を持っている人も多いと思いますが、順を追って1つずつ理解していけば苦手意識も解消できるはずです。
      公式を覚えて活用できるようにするなどしながら、指数関数について学んでいきましょう。

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      この記事の執筆者

      ニックネーム:受験のミカタ編集部

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