三角関数極限は概念の理解が大事！ 基礎から難関大の問題に挑戦

三角関数の極限を初めて学ぶ時、公式を丸暗記してしまっている人が多いと思います。しかし、大学受験では三角関数の公式を導出するところから出題されることが頻出問題になってきました。

そこで、この記事では、大切な入試問題を暗記で対策せずに、三角関数極限の公式の証明方法と難関大学の練習問題を解けるように解説したいと思います。

この手の公式は大学入試では証明できるかどうかがポイントになるときがあります。

実際、大阪大学の三角関数の極限の入試問題で、この公式の証明が問われたことがありました。

高校数学の三角関数の基礎が問われた年の入試問題でした。三角関数の極限の理解は、微分の理解にも役立つので、公式を暗記せず、証明方法を理解していることが重要です。

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【目次】

三角関数極限の証明は「はさみうちの原理」が重要

三角関数の極限の公式の証明ははさみうちの原理を用いて「面積での評価」がポイントであることを理解しましょう。

大小関係をあきらかにすることで、ポイントが浮き出てくるように理解出きます

以下、図を用いて証明します。

大小関係を見ると、

という関係になる。

全てに２をかけてあげると、

になる。ここではまだ文字が多いので、できるだけ文字を減らしたい。

そこで、sinθで割ってあげると、

そうすると、見たこと有る形が出てきました。

分母分子をひっくり返すと、

それぞれに極限を取ってあげると、

この様になり、cosθが0近づくと値は1に近づきます。

ここで、三角関数の極限は「はさみうちの原理」を使用します。

三角関数の極限の範囲で習っているのに忘れてしまったという人にために復習しておくと、

図の例を見てみると、

という原理です。

cosθも1に収束するなら、はさみうちの原理より、sinθ/θは1になります。

証明は以上になります。

三角関数の3つの極限公式と証明

三角関数の極限の範囲では、以下の重要な公式を覚えておく必要があります。下の公式を覚えていないと、はさみうちの原理を理解していたとしても、問題に対処するのに時間がかかってしまいます。

時間がなくて問題に取り組めなかったという自体を避けるために、必ず導出する努力をしてください。

sinの極限公式

sinxの三角関数の公式の導出は、上記を参照してください。

cosの極限公式

cosの極限公式では、sinxの極限公式を使用して導出し、証明します。

tanの極限公式

tanの極限公式の証明は非常にシンプルです。

三角関数極限の練習問題

三角関数の極限の公式の証明方法を紹介しました。以下の練習問題を解いて、基礎練習をしてください。

まとめ

今回は、三角関数極限の証明を解説しました。理系大学受験では三角関数の極限の問題は導出の形で出題されることが多いので、練習問題をたくさん解くことで理解力を養う必要があります。

基礎を理解し、実際に手を動かしていけば、難問でも緒は必ず見えて来ます。暗記ではなく、難しい問題を理解しようと時間をかけることが重要です。