簡単!三角錐の体積・表面積の求め方と展開図が誰でもすぐわかる記事!

数学 2017.4.19
簡単!三角錐の体積・表面積の求め方と展開図が誰でもすぐわかる記事!

数学における三角錐について、スマホでも見やすいイラストを使いながら解説します。

慶応大学に通う筆者が、数学が苦手な人向けに三角錐の体積の求め方・三角錐の表面積の求め方・展開図について解説していきます。

特に、三角錐の面積を求める公式は非常に重要です。必ず覚えておきましょう!

最後には、三角錐に関する練習問題も用意した充実の内容です。

ぜひ最後まで読んで、三角錐をマスターしましょう!

他の図形の表面積・体積の求め方を学びたい方は「 体積・表面積まとめ記事〜いろいろな図形の求め方を一気に学べる!〜」の記事も合わせてお読みください。

 

    1:三角錐の体積の求め方(公式)

    まずは三角錐の体積の求め方(公式)から解説します。

    三角錐の体積は「底面積×高さ÷3」で求めることができます。

    三角錐の体積の求め方(公式)

    なぜ3で割るのかについて疑問を持つ人が多いと思います。

    しかし、なぜ3で割るのか?についての解説はかなり複雑なので、本記事では割愛させて頂きます。

    三角錐に限らず、錐体(円錐など)の体積を求めるときは必ず3で割ります。ぜひ覚えておきましょう。

    ※三角錐の中でも特に、面がすべて正三角形でできているものを正四面体と言います。

    正四面体を詳しく学習したい人は、正四面体について解説した記事をご覧ください。

     

      2:三角錐の体積を求める例題

      では、以上の三角錐の体積の求め方(公式)を踏まえて、実際に三角錐の体積を求めてみます。

      例題

      以下のような三角錐がある時、この三角錐の体積を求めよ。

      三角錐のイラスト

      解答&解説

      三角錐の体積は「底面積×高さ÷3」でしたね。

      なので、まずは底面積から求めてみます。

      底面積(三角形BCD)

      = 3×4÷2

      = 6

      ですね。高さは図より10です。

      したがって、求める三角錐の体積は

      6×10÷3

      = 20・・・(答)

      となります。

      いかがでしたか?三角錐の体積の公式を知っていれば簡単に体積は求めることができます。

       

      3:三角錐の表面積の求め方

      体積の次は表面積について学習しましょう。

      表面積は、三角錐の面の面積をすべて足せば良いのです。

      三角錐の面は全部で4つありますね。

      三角錐の側面

      よって、この4つの面の面積をすべて足せば三角錐の表面積を求めることができます。

       

        4:三角錐の表面積を求める例題

        では、例題をつかって、三角錐の表面積を求めてみましょう!

        例題

        以下の三角錐A-BCDの表面積を求めよ。

        ただし、∠BCD=90°、三角形ABDの高さを10、三角形ABCの高さを12、三角形ACDの高さを8とする。

        三角錐A-BCD

        解答&解説

        三角錐の表面積は面4つの面積をすべて足せば良いのでした。

        なので、4つの面の面積をそれぞれ求めましょう。まずは底面積から!

        底面積

        = 3×4÷2

        = 6・・・①

        三角形ABD

        = 5×10÷2

        = 25・・・②

        三角形ABC

        = 3×12÷2

        = 18・・・③

        三角形ACD

        = 4×8÷2

        = 16・・・④

        よって、求める表面積は

        ①+②+③+④

        = 6+25+18+16

        = 65・・・(答)

        となります。

        三角錐の表面積を求めるときの注意点

        三角錐の表面積を求める際には側面積のそれぞれの三角形の高さがわからないと表面積を求めることができないので注意しましょう。

        例えば、以下のように高さが10の三角錐の表面積を求めることを考えてみます。

        高さが10の三角錐の表面積

        よくある間違いが、側面積を求めるときに、それぞれの側面積を

        3×10÷2=15

        4×10÷2=20

        5×10÷2=25

        とすることです。これは間違いです!

        三角錐の高さ=側面積の高さではありません!

        この場合は側面積の高さがわからないので、表面積を求めることはできません。

         

          5:三角錐の展開図

          三角錐の展開図についてみておきましょう。

          以下の三角錐の展開図を書いてみます。

          三角錐

          展開図は以下のようになります。

          三角錐の展開図

          いかがですか?

          三角錐の展開図は簡単ですよね?

          まずは三角錐の底面を書いて、その底面の三角形の周りに側面を書いてあげれば良いのです。

           

            6:三角錐の練習問題

            最後に、三角錐に関する練習問題を出題します。

            ぜひ解いて、三角錐がマスターできたかを確かめましょう!

            練習問題

            以下の三角錐の体積を求めよ。

            三角錐の練習問題

            解答&解説

            繰り返しになりますが、三角錐の体積は「底面積×高さ÷3」でしたね。

            底面積

            =5×12÷2

            = 30です。

            高さは20なので、求める三角錐の体積は

            30×20÷3

            = 200・・・(答)

            となります。

            ちなみにですが、この三角錐の表面積はこのイラストからは求められませんので注意してくださいね。

             

              三角錐のまとめ

              いかがでしたか?

              三角錐の体積の求め方(公式)が理解できましたか?

              三角錐の体積を求めるのは数学の基本の1つです。必ず理解しておきましょう!

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              この記事の執筆者

              ニックネーム:やっすん

              早稲田大学商学部4年
              得意科目:数学