正四面体の体積・高さが誰でも一発で求められるようになる!公式&展開図

数学 2017.3.30
正四面体の体積・高さが誰でも一発で求められるようになる!公式&展開図

数学における正四面体で知りたい知識について、スマホでも見やすいイラストで慶応大学に通う筆者が丁寧に解説します。

数学が苦手な人でも正四面体が理解できるように、わかりやすく解説しています。

本記事を読めば、正四面体の高さの求め方(公式)、体積の求め方(公式)、正四面体の展開図が理解できるでしょう。

最後には正四面体に関する練習問題も用意した充実の内容です。

ぜひ最後まで読んで、正四面体をマスターしましょう!

 

    1:正四面体の高さの求め方(公式)

    まずは正四面体の高さの求め方(公式)から学習していきましょう。

    下の図のように、1辺がaの正四面体を考えてみます。

    1辺がaの正四面体

    高さを求めるために、正四面体の頂点Aから垂線を下ろし、底面の正三角形BCDとの交点をEとします。

    正三角形BCD

    すると、点Eは正三角形BCDの重心になります。

    ここで、点Dから垂線を下ろすと、点Eを通り辺BCとの交点をFとします。

    点F

    すると、FC=(1/2)aなので、

    DF=(1/2)a・√3

    ですね。

    ここで、正三角形の重心の特徴より、DE:EF=2:1でした。

    よって、

    DE

    =DF×2/3

    =(1/2)a・√3×2/3

    =(√3/3)a

    となります。

    DEの長さ

    ここで、三角形AEDに注目しましょう。∠AED=90°なので、三平方の定理が使えますね。

    ※三平方の定理を忘れてしまった人は、三平方の定理について解説した記事をご覧ください。

    三角形AED

    正四面体の高さにあたるAEを三平方の定理から求めます。

    AE2

    = a2 – {(√3/3)a}2

    = (2/3)a2

    より、

    AE = (√2/√3)a

    となります。

    AEの高さ

    いかがでしたか?

    1辺がaの正四面体の高さは

    (√2/√3)a

    で求められる!とても便利な公式なので覚えておきましょう!

     

      2:正四面体の体積の求め方(公式)

      正四面体の高さがわかったところで、次は正四面体の体積を求めましょう。

      以下のように、1辺がaの正四面体の体積を求めてみます。

      1辺がaの正四面体

      正四面体の体積は「底面積×高さ×1/3」で求められました。

      高さは先ほど学習したので問題ないでしょう。

      底面積は正三角形なので、正三角形の面積の公式を使って、

      三角形BCD = √3/4×a2

      ですね。

      三角形BCDの面積

      よって、正四面体の体積は

      (√3/4)a2×(√2/√3)a×1/3

      =(√2/12)a3

      となります。以上が正四面体の体積の求め方(公式)です。

      正四面体の体積

      1辺がaの正四面体の体積は

      (√2/12)a3で求められることを覚えておきましょう!

       

      3:正四面体の2種類の展開図

      正四面体の展開図の書き方は2つあるので、これを機に両方覚えておきましょう!

      展開図その1

      1つ目は展開図が正三角形になるパターンです。

      正四面体の展開図

       

      展開図その2

      2つ目は展開図が平行四辺形になるパターンです。

      正四面体の展開図

      ※平行四辺形について学習したい人は、平行四辺形についてじっくり解説した記事をぜひご覧ください。

      正四面体のどちらの展開図を使うかは、問題によって選択しましょう!

       

        4:正四面体に関する計算問題

        最後に、正四面体の高さと体積を求める計算問題を用意しました。

        ぜひ解いて、高さ・体積の求め方(公式)が理解できたかを確認しましょう!

        問題

        下の図のように、1辺が6の正四面体がある。この正四面体の高さ体積を求めよ。

        1辺が6の正四面体

        解答&解説

        まずは正四面体の高さから求めましょう。

        高さの公式は(√2/√3)aでしたね。(aは正四面体の1辺の長さ)

        よって、求める高さは

        (√2/√3)×6

        = 2√6・・・(答)

        となります。

        次に体積を求めます。体積は(√2/12)a3(aは正四面体の1辺の長さ)で求められました。

        よって、求める体積は

        √2/12×63

        =18√2・・・(答)

        となります。

        高さも体積も、公式にあてはめればすぐに解けますね!

         

          正四面体のまとめ

          正四面体の高さ・体積の求め方(公式)、展開図が理解できましたか?

          正四面体の公式はとても便利です。ぜひしっかり覚えて、試験時間を有効に使いましょう!

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          この記事の執筆者

          ニックネーム:やっすん

          早稲田大学商学部4年
          得意科目:数学