力学的エネルギー保存則で覚えることは1つだけ!

物理 2016.2.15
力学的エネルギー保存則で覚えることは1つだけ!

今回は、力学的エネルギー保存則について解説していきます。

まず、力学的エネルギーとは、物体がもつ位置エネルギー運動エネルギー合計のことです。
力学的エネルギー = 位置エネルギー + 運動エネルギー
このことだけを覚えれば問題はありません!

※位置エネルギーと運動エネルギーについては、

位置エネルギーの公式は全部で3つあるって知ってた?

運動エネルギー 公式とすぐに分かる求め方

に詳しい解説があります。

 

そして、力学的エネルギー保存則とは、位置エネルギー運動エネルギーの合計が常に一定になることです。
位置エネルギー + 運動エネルギー = 一定
具体例でみていきます。

    力学的エネルギーの具体例

    質量m[kg]の物体を高さh[m]から自由落下させることを考えてみます。

    力学的

    そして、物体が通過する地点に注目してみます。

     

    ①:高さがh[m]の点に注目

    【位置エネルギーのみ】

    位置エネルギー = mgh

    運動エネルギー = 0

    よって、力学的エネルギーは mgh + 0 = mgh となる。

     

    ②:高さがh´[m]の点に注目

    【位置エネルギー+運動エネルギー】

    高さh´[m]の点を通る時の速さをv´[m/s]とする。

    すると、自由落下運動の公式③(参考)より、

    2 = 2g(h-h´)


    (参考)

    自由落下運動の公式

    ①速度:v = gt

    ②変位:y = 12gt2

    ③時間を含まない式:v2 = 2gy


    したがって、

    位置エネルギー = mgh´

    運動エネルギー = 12mv2 = mg(h-h´)

    よって力学的エネルギーは、mgh´ + mg(h-h´) = mgh となる。

     

    ③:地面(高さ0[m])の点に注目

    【運動エネルギーのみ】

    地面(高さ0[m])を通る時の速さをv[m/s]とする。

    ケースⅡと同様に考えて、

    v2 = 2gh

    したがって、

    位置エネルギー = 0

    運動エネルギー = 12mv2 = mgh

    よって力学的エネルギーは、0 + mgh = mgh となる。

     

      力学的エネルギーのまとめ

      ①~③より、

      位置エネルギー運動エネルギーの合計は常に一定であることがわかりました。

      このことをグラフで示すと以下のようになります。

      グラフ

      位置エネルギーが大きくなれば、運動エネルギーは小さくなります。

       

      力学的エネルギーの応用(単振り子)

      力学的エネルギー保存則を用いた応用例をみていきましょう。

      よく入試などで出題されるのが、単振り子です。

      単振り子でも、力学的エネルギー保存則は成り立ちます。図で確認していきましょう。

      振り子

      物体の質量をm[kg]とする。

      図のように、(A)から静かに物体を離す。

      (A)における位置エネルギーはmgh、運動エネルギーは0なので、

      力学的エネルギーはmgh である。

       

      また、物体の高さがh´[m]になったときの速さをv[m/s]とする。[(B)地点]

      このときの位置エネルギーはmgh´、運動エネルギーは数字mv2であるから、

      力学的エネルギーはmgh´+ 12mv2 となる。

       

      力学的エネルギー保存則より、

      mgh = mgh´+ 12mv2 という関係式が導けますね♪

       

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      この記事の執筆者

      ニックネーム:やっすん

      早稲田大学商学部4年
      得意科目:数学