簡単!位置エネルギー公式3つをイラストで即理解!証明付き

物理 2016.2.4
簡単!位置エネルギー公式3つをイラストで即理解!証明付き

今回は位置エネルギーの公式を扱います。

位置エネルギーの公式としては「重力・弾性力・万有引力」による位置エネルギーの3つの公式があります。

今回はこの3つの中の、「重力」と「弾性力」による位置エネルギーの公式を紹介します。

(万有引力による位置エネルギーの公式は「万有引力の法則 公式・位置エネルギーが簡単に分かる!」をご覧ください。)

 

    位置エネルギーとは?

     

    位置エネルギーとは?

    位置エネルギー画像

    物体が持っている仕事をする能力のことです。

    例えば、右図だとボールが落ちると、地面に力を及ぼします。

    だから、高い位置にある時は、低い位置にある時よりも仕事をする能力があるので、位置エネルギーが大きいと言えます。

    単位はJ[ジュール]で表されます。

     

      重力による位置エネルギー 公式と証明

      公式

      重力による位置エネルギー U[J] = mgh   ※m[kg]:質量、h[m]:高さ

       

      証明

      重力[証明]

      図のように、質量m[kg]の物体を、高さh[m]から初速度0で落下させる。

      地面に衝突する直前の速さをv[m/s]とする。

      すると、等加速度直線運動の公式(参考1)より、

      v2 - 02 = 2gh

      ※等加速度直線運動があまり理解できていない人は、等加速度直線運動について詳しく解説した記事をご覧ください。


      (参考1)

      等加速度直線運動の公式

      v2 - v02 = 2ax

      v0[m/s]:初速度、v[m/s]:終わりの速度、a[m/s2]:加速度、x[m]:変位


      したがって、v= 2gh

      よって、衝突する直前の運動エネルギーは

      分数mv2分数m ・2gh = mgh

      ※運動エネルギーの公式などについてまとめた記事は、

      運動エネルギー 公式とすぐに分かる求め方をご覧ください。

      この運動エネルギーは物体の位置エネルギーが変換したものなので、重力による位置エネルギーU[J]は、

      U = mgh となる。

       

      弾性力による位置エネルギー 公式と証明

      公式

      弾性力による位置エネルギー U[J] = 弾性力kx2
      ※k[N/m]:ばね定数、x[m]:ばねののび(ちぢみ)

       

      証明

      ばね

      [証明]

      ばねを引き伸ばすと、外力がした仕事が位置エネルギーとしてたくわえられる。

      ばね定数k[N/m]のばねをx[m]だけ引き伸ばすとき、ばねを引く力F[N]は、フックの法則(参考2)より


      (参考2)

      フックの法則の公式

      F[N] = kx

      F[N]:加える力の大きさ、k[N/m]:ばね定数、x[m]:ばねの伸び


      F = kx である。よって、F-xグラフは図のようになる。

      ばねをx[m]だけ伸ばす仕事はF=kxと、x軸、y軸で囲まれた部分の面積(補足)である。

      よって、弾性力の位置エネルギーU[J]は、

      U = 太字kx2 となる。

       

      (補足)

      なぜ面積なの??

      ⇒それは、弾性力によるエネルギーが「仕事」と関係しているからです。

      物体にされた仕事は位置エネルギーの変化量に等しい」ということを理解しておけば難しくはありません。

      一定の仕事の公式はW[J] = F[N]・S[m] でした。

      ここで、「1.重力による位置エネルギー」で紹介した図を例にとってみます。

      重力 エネルギー

      この例では、物体に一定の力(mg[N])がはたらいていて、移動距離がh[m]になります。

      だから重力が物体にする仕事の合計はmgh[J]に、つまり位置エネルギーになります。

       

       

      いかがでしたか?

      位置エネルギーの公式3つを、しっかり使い分けできるように何度も見返しておきましょう♪

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      この記事の執筆者

      ニックネーム:やっすん

      早稲田大学商学部4年
      得意科目:数学