判別式とは？判別式のD/4＆実践的な使い方を解説します（練習問題付き）

「判別式の公式が分からない……」という方や、「判別式っていつ使えばいいの？」と思っている方も多いのではないでしょうか。

判別式を使うことで、解を求めるよりも簡単に実数解の個数を求めることができます。判別式をマスターすれば、試験で使う時間をギュッと短縮することが出来るでしょう。

本記事では、判別式とは何かというギモンから、判別式の使い方まで分かりやすく解説しています。最後には練習問題を3問用意してあるのでぜひ活用してください！

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判別式とは？

まずは判別式とは何かについて解説します。

まずは、二次方程式の解の公式思い出してください。

ax²+bx+c=0

という二次方程式の解は、

の２つでしたね。

※二次方程式の解の公式があまり理解できていない人は、二次方程式の解の公式について詳しく解説した記事をご覧ください。

このとき、ルートの中の「b²-4ac」のことを判別式といいます。

判別式は、Dと表すことがよくあります。

すなわち、

D=b²-4ac

となる訳ですね。

以上が、判別式とは何かについての解説です。

判別式のD/4とは？

判別式のD/4とは、xの係数が偶数のとき（ここではxの係数b→2bとして表現します）に使えます。

二次方程式の解の公式を思い出してください。

xの係数が偶数の二次方程式の時は、以下のように表すことができますよね。

※二次方程式の解の求め方があまり理解できていない人は、二次方程式の解の求め方について解説した記事をご覧ください。

xの係数が偶数のときは、ルートの中（判別式）が「b²-ac」となっています。

この場合の判別式は、Dと表すのではなく、D/4と表す場合が多いです。

すなわち、

D/4 = b²-acです。

では、なぜD/4なのでしょうか？

ax²+2bx+c=0のとき、判別式Dは、

D

= (2b)²-4ac

= 4b²-4ac

となりますね。よって、両辺を4で割って、

D/4 = b²-ac

となる訳です。

判別式D/4は、二次方程式のxの係数が偶数のときに使います。ぜひ覚えておきましょう。

判別式の使い方

判別式を使えば、どのようなことがわかるのでしょうか？

この章では、例をあげながら判別式の使い方について解説していきます。

判別式を使えば、「二次方程式の解が何個あるのか？」を調べることができます。

・判別式D（もしくはD/4）が0よりも大きい場合は、二次方程式は異なる２つの実数解を持ちます。

・判別式D（もしくはD/4）が0の場合は、二次方程式は実数解を１つだけ持ちます。（重解と言います。）

※重解をもっと深く学習したい人は、重解について詳しく学習した記事をご覧ください。

・判別式D（もしくはD/4）が、0よりも小さい場合は、二次方程式は実数解を持ちません。（※虚数解というのを持つことになりますが、本記事では割愛します。）

以上が判別式の使い方についてです。

では、最後に判別式を使った練習問題を解いてみましょう。詳しい解答＆解説付きです。

判別式を使った練習問題

判別式を使った練習問題を３個用意しました。ぜひ解いてみてください。

問題1

二次方程式x²-3x+1=0の実数解は何個あるか、判別式を使って求めよ。

解答＆解説
まずは判別式を考えます。今回はxの係数が-3で偶数ではないので、判別式Dを使います。

判別式D

= (-3)²-4・1・1

= 5

です。5は0よりも大きいので、二次方程式は実数解を２つ持つことになります。

問題2

二次方程式3x²+2x+10=0の実数解は何個あるか、判別式を使って求めよ。

解答＆解説
今回は、xの係数2が偶数なので判別式D/4を使います。

判別式D/4

= 1²-3・10

= -29

より、0より小さい結果となりました。

よって、二次方程式は実数解を１つも持ちません。

問題3

二次方程式x²-4x+4=0の実数解は何個あるか、判別式を使って求めよ。

解答＆解説
xの係数は-4ですので、判別式D/4を使います。

判別式D/4

= (-2)²-1・4

= 0

より、判別式が0になりました。

したがって、二次方程式の実数解は１個（重解）になります。

まとめ

判別式について理解できましたか？判別式は、二次方程式だけでなく多くの分野で使用します。

判別式を忘れた場合は、また本記事で判別式を復習しましょう！