有理化とは?やり方を分かりやすく解説!練習問題つき

数学 2019.1.11

高校1年生の数学で習うのが有理化です。

正確には根号を使った分数の計算で、分母を無理数から有理数に変換する計算になります。

この有理化は数学だけではなく、物理などの分野でも使うものです。
数学から高等数学まで幅広く使うものですから、きちんと理解をして把握しておきましょう!

 

1.有理化とは?

最初に確認からしておきます。

有利化の図

分母に根号を含む式を、分母に根号が含まない形にするのを、有理化と言います。

もう少し詳しく言うのなら、分母の有理化です。

例題を出してみましょう。

有利化1という形のものを変換すると有利化2という形になります。

では、基本的な部分から見ていきましょう。

 

  • 例題:有利化3を有理化しよう

ここで有理化のための手順を紹介します。

1.分母にあるルートの中を簡単にして、約分をします。
2.分母にあるルートを分母と分子の両方にかけてください。
3.分子のルートを簡単にして、約分して終了です。

では、実践していきましょう。

問題にあるのは、 有利化3 というものです。

分母のルートはこれ以上簡単にできませんので、次の手順にステップします。

次は分母と分子の両方に、分母のルートをかけます。

という式になります。

分母のルートは根号が取れますから

有利化4という形になります。

これで分母のルートが取れましたので有理化成功です。

 

  • 例題:を有理化しよう

この場合も先ほどと同じように進めていきます。

分母にある を分子と分母にかけて、有利化します。

 

ここで、分子に9があり、分母が3であることにより約分ができます。

つまり、 が正解になります。

 

  • 例題:を有理化しよう

最後は分子と分母に根号が含まれるパターンを考えます。

計算式は

となります。

これで有理化ができました。

 

  • 例題:を有理化しよう

次はルートの中を簡単にしてからのパターンです。

有利化は22×3とできます。

つまり、有理化 の形に変換可能です。という形になりました。

ここで分母と分子の両方にかけ算をしますが、この時にかけるのはルートの部分だけです。

という形になります。

で正解です。

 

2.【特別な有理化①】複雑な有理化の解き方

先述したのは基本的な有理化でした。

ここからは少し複雑な計算を見ていきましょう。

ただ、計算が複雑になるだけで、有理化のステップは同じです。

 

  • 例題: を有理化しよう

最初はおさらいからいきましょう。

有理化は22×15 にできますから

と形を整えて有理化の完了です。

 

次は分母の項が2つある時を考えてみます。

といった形です。

この場合、単純にかけるだけでは根号が外れません。

そこで和と差の積の公式である

(a+b)(a-b)=a2-b2

を使っていきます。

とするわけです。

 

例題を使って練習をしてみましょう。

 

  • 例題:を有理化しよう

分母が となっているので、分母と分子には をかけます。

 

ここで約分をしましょう

 

これで有理化が終わりました。

次はもう少し複雑にいきましょう。

 

  • 例題 :を有理化しよう

次は分母の2項がともに根号となっているケースを考えます。

この問題も基本は同じです。

ただし、分母が になっているので、分母と分子には をかけます。

 

ここで約分を行います。

という形になります。

これで有理化が終わりました。

 

  • 例題:を有理化しよう

次は分母の根号に係数がある場合です。

これまでのパターンとは違いますので、戸惑ってしまうかもしれませんが、やることは同じになります。

焦らずに計算をしていきましょう。

分母が になるので、+にするのを忘れないようにしてください。

約分をして

となって有理化終了です。

 

3.【特別な有理化②】分母が3つあるパターンの解き方

分母の項が2つになる時は、和と差の積を用いて分母を有理化しました。

では、分母の項が3つになった場合はどうでしょうか。

例えば といった形です。

この場合は、どうすれば有理化できるのかを考えていきます。

 

実は分母の項が3つある、と言っても構える必要はありません。
とてもシンプルに考えることで、和と差の積の形に持っていけるからです。

どうするのかと言うと、3つの内2つをまとめてしまいます。

先ほどの例ですと

としてしまうのです。

仮に分子が1だとすると計算はこうなります。

 

随分とすっきりした形になりました。

ですが、まだ分母にが残っています。

ですので、有理化をするためには、さらにをかけましょう。

 

これで有理化ができました。

分母に3つの項がある時は、2回有理化するのがポイントです。

最後に、分母に3つのルートがあるパターンを紹介しましょう。

 

  • 例題:を有理化しよう

最初にするのは有理化するための、分母の選別です。

シンプルにとしたとしましょう。

ここで分子の計算をするとなると

というような形になって計算するのが大変です。

結果、分子の組合せを少し工夫する必要がでてきます。

として計算してみましょう。

と簡易化できます。

これを計算していきましょう。

さらに式を整理して

ようやく分母のルートが、シンプルになりました。
さらに計算をしていきましょう。

と、なって有理化の終了です。

かなり複雑な計算になりましたが、応用をすることである程度は簡便化できます。

これを覚えておくといいでしょう。

 

4.有理化の練習問題に挑戦

最後に練習問題をいくつか用意しておきます。

 

  • 練習問題1:を有理化してください。

 

解答:

 

  • 練習問題2:を有理化してください。

解答:

 

  • 練習問題3:を有理化してください。

 

解答:

 

  • 練習問題4:を有理化してください。

 

解答:

 

数学だけではなく、物理や化学などの範囲でも有理化というのは、必要になってくる要素です。

そのため確実にできるようにしておきましょう。

 


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この記事の執筆者

ニックネーム:受験のミカタ編集部

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