二倍角の公式の覚え方・語呂合わせ!即覚えられる!

数学 2016.12.5
二倍角の公式の覚え方・語呂合わせ!即覚えられる!

高校数学の三角関数における二倍角の公式について解説します。

本記事では、三角関数の二倍角の公式の一覧・二倍角の公式の覚え方(語呂合わせ)・二倍角の公式の証明・二倍角の公式を使った練習問題を扱う充実の内容です。

数学が苦手な人でも理解できるように二倍角の公式について丁寧に解説しているので、ぜひ最後まで読んで、二倍角の公式をマスターしてください。

 

三角関数の公式の理解に役立つ記事のまとめもぜひ参考にしてみてください!

 

    1:二倍角の公式の覚え方(語呂合わせ)

    まずは二倍角の公式の一覧と二倍角の公式の覚え方(語呂合わせ)を紹介します。

    二倍角の公式は、三角関数の分野でもかなり重要なので、必ず暗記しましょう!(二倍角の公式の証明については次の章で解説します。)

    [二倍角の公式一覧・覚え方(語呂合わせ)]

    sin2θ = 2sinθcosθ

    ・覚え方(語呂合わせ)

    →「sinは錦織!

    二倍角の公式の覚え方(語呂合わせ)

    cos2θ

    = cos2θ- sin2θ

    = 1- 2sin2θ

    = 2cos2θ- 1

    ※cos2θ二倍角の公式は3つあるので、覚え方(語呂合わせ)は割愛します。

    tan2θ

    = 2tanθ/(1- tan2θ)

    ・覚え方(語呂合わせ)

    →「一匹タンタン、2つのタン

    二倍角の公式の覚え方(語呂合わせ)

    以上が二倍角の公式一覧と、二倍角の公式の覚え方(語呂合わせ)です。

    繰り返しになりますが、二倍角の公式は三角関数の分野では頻出なので必ず暗記してください!

     

      2:二倍角の公式の証明

      では、なぜ二倍角の公式は成り立つのでしょうか?

      本章では、二倍角の公式が成り立つ理由(二倍角の公式の証明)を行います。

      二倍角の公式:証明(sin2θ)

      二倍角の公式の証明は、加法定理を使えば簡単にできます。

      ※加法定理を忘れた人は、加法定理について詳しく解説した記事をご覧ください。

      sin2θ

      =sin(θ+θ)

      =sinθcosθ+sinθcosθ

      =2sinθcosθ

      以上でsin2θの二倍角の公式の証明ができました。

       

      二倍角の公式:証明(cosθ)

      cos2θの二倍角の公式の証明も加法定理を使います。

      ※加法定理を忘れた人は、加法定理について詳しく解説した記事をご覧ください。

      cos2θ

      =cos(θ+θ)

      =cosθcosθ-sinθsinθ

      =cos2θ-sin2θ・・・(※1)

      ですね。ここで、

      sin2θ+cos2θ=1・・・(※2)

      でした。よって、

      cos2θ=1-sin2θ

      なので、これを(※1)に代入して、

      cos2θ=1-2sin2θ

      また、(※2)より、

      sin2θ=1-cos2θ

      なので、これを(※1)に代入して

      cos2θ=2cos2θ-1

      となります。cos2θの二倍角の公式の証明は以上です。

       

      二倍角の公式:証明(tan2θ)

      tan2θの二倍角の公式の証明も加法定理を使います。

      ※加法定理を忘れた人は、加法定理について詳しく解説した記事をご覧ください。

      tan2θ

      =tan(θ+θ)

      =(tanθ+tanθ)/(1-tanθtanθ)

      =2tanθ/(1-tan2θ)

      簡単ですよね?tan2θの二倍角の公式の証明は以上です。

      二倍角の公式の証明は、どれも加法定理を使えば良いことがわかったと思います。

      二倍角の公式は、忘れてしまっても導出できるように、加法定理もしっかり覚えておきましょう!

       

      3:二倍角の公式のを使った練習問題

      最後に、三角関数の二倍角の公式を使った練習問題を解いてみましょう。

      実際の問題では、二倍角の公式をどのように使うのかがイメージできるでしょう。

      二倍角の公式:練習問題

      θが第一象限の角で、cosθ=12/13の三角形がある。

      この時、sin2θ、cos2θ、tan2θの値を求めよ。

      解答&解説

      まず、θが第一象限の角で、cosθ=12/13の三角形は、図にすると以下のようになりますね。

      cosθ=12/13の三角形

      まずはsinθを求めましょう。cosθ=12/13より、sinθ=5/13ですね。

      (5:12:13の三角形です。)

      よって、二倍角の公式より、

      sin2θ

      =2・5/13・12/13

      =120/169・・・(答)

      となります。

      次はcos2θを求めます。

      cosθの求め方は3つありましたが、今回はcos2θ=1-2sin2θを使ってみます。

      cos2θ

      =1 – 2・(5/13)2

      = 119/169・・・(答)

      ※cos2θ=2cos2θ-1を使ってみると、

      cos2θ

      =2・(12/13)– 1

      = 119/169

      より、上記と同じ結果になりますね。

      最後に、tan2θを求めます。

      tan2θの二倍角の公式を使って求めても良いのですが、

      tanθ=sinθ/cosθ

      であることを思い出してください。

      これを使えば、

      tan2θ

      = sin2θ/cos2θ

      = (120/169)/(119/169)

      = 120/119・・・(答)

      となります。

      tan2θは、sin2θとcos2θがわかればそこから楽に求めることができますね。

       

        二倍角の公式:まとめ

        以下がでしたか?二倍角の公式の覚え方(語呂合わせ)・二倍角の公式の証明・二倍角の公式の練習問題は以上です。

        繰り返しになりますが、二倍角の公式は三角関数の中でも非常によく使うので、必ず覚えましょう!

        二倍角の公式を忘れた時は、加法定理から二倍角の公式を導きましょう!

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        この記事の執筆者

        ニックネーム:やっすん

        早稲田大学商学部4年
        得意科目:数学